Hiển thị sự hội tụ của một chuỗi đã cho sự hội tụ của một chuỗi
Tôi đang giải quyết một vấn đề yêu cầu tôi hiển thị như sau: Cho một dãy số thực, $(x_n), n=0,1,2,...$ như vậy mà $x_n \rightarrow x$, cho thấy $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ Cách tiếp cận của tôi là thử và chứng minh điều này theo cách tương tự như cách chúng tôi chứng minh công thức chuỗi hình học (sẽ đơn giản nếu $(x_n)$là một chuỗi không đổi). Vì vậy, nhìn vào tổng một phần của chuỗi trên, chúng ta thấy rằng:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ Từ đây tôi không thể để $p\rightarrow 1^{-}$chưa, nếu không mọi thứ sẽ hủy bỏ. Vì vậy, tôi muốn sử dụng thực tế rằng$x_n$ hội tụ với $x$và tôi nghi ngờ rằng tôi sẽ phải sử dụng thực tế là vì $x_n \rightarrow x$, các $(x_m - x_{m-1})$ các điều khoản sẽ $0$ Cho lớn $m$. Tuy nhiên, tôi vẫn không biết làm thế nào để đối phó với các điều khoản ban đầu trong tổng$(x_m - x_{m-1})$ điều khoản không phải là không đáng kể.
Trả lời
$\epsilon>0$:
chúng tôi muốn chứng minh rằng tồn tại một $\delta$ để làm gì nếu $p\in\left(1-\delta,1\right)$ sau đó $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. chúng ta biết rằng x_n hội tụ về x, vì vậy tồn tại một N sao cho với mọi n> N, chúng ta có:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. chúng tôi cũng biết rằng:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. chúng ta hãy xem phần thứ hai:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
vì vậy chúng tôi có: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
nhưng đối với p đủ gần với 1, phần đầu tiên bằng 0 và phần thứ hai là x trừ đi epsilon. Vì vậy, bạn có thể hiển thị giới hạn dưới cho delta bên phải mà bạn cần. Giới hạn trên có thể được hiển thị theo một cách rất giống nhau.
Tôi hy vọng điều này có thể hiểu được