Hiệu số giữa các số hạng liên tiếp của một dãy số tăng dần bao gồm các số nguyên dương gồm nhiều số nguyên tố nhất
Giả sử rằng $\{x_n\}$ là một dãy số tăng dần có các phần tử là số nguyên dương bao gồm vô số số nguyên tố $p_1, \dots, p_s$. Tôi muốn xác minh giới hạn sau$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Tôi đã đọc một kết quả đưa ra giới hạn thấp hơn cho sự khác biệt giữa các điều khoản liên tiếp của $\{x_n\}$trong văn học. Kết quả này ngụ ý rằng sự khác biệt giữa các số hạng liên tiếp khác nhau. Tuy nhiên, về yếu tố tôi có thể chỉ ra rằng giới hạn ở trên là vô hạn không?
Trả lời
Câu trả lời này từ Felipe Voloch trên mathoverflow.net có liên quan:
Đúng, đúng là loại phương trình ax + by = c, trong đó a, b, c khác 0 và cố định và x, y chỉ cho phép có thừa số nguyên tố trong một tập hữu hạn, chỉ có vô số nghiệm. Đây là một trường hợp đặc biệt của định lý Siegel về tích phân điểm trên đường cong.
Chọn $a=1$ và $b=-1$, vậy nên $x-y=c$ chỉ có rất nhiều giải pháp cho bất kỳ $c$. Do đó chỉ có rất nhiều cặp$x,y$ với $|x-y|<M$ cho bất kỳ nhất định nào $M$.
Thật không may, định lý của Siegel không có nghĩa là sơ đẳng. Tôi nghi ngờ rằng không có bằng chứng sơ đẳng.