Ít nhất một nhóm con tuần hoàn được xác định rõ ràng của $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, cho chính $p$.

Question

Hãy xem xét các số nguyên của biểu mẫu

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

Tập hợp các lớp cặn tương ứng $\{[pq + 1]\}$ tạo thành một nhóm trật tự tuần hoàn $p$ với máy phát điện $[p + 1]$.

Ví dụ: Nếu $p = 11$ sau đó $12$ tạo một nhóm con tuần hoàn theo thứ tự $11$ trong $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

Tôi có một bằng chứng trực tiếp về điều trên bằng cách sử dụng lý thuyết phân chia Euclidean (biểu diễn), nhưng tôi muốn xem các bằng chứng khác (hoặc liên kết / tài liệu tham khảo). Ngoài ra, liên kết wikipedia

$\quad$ Nhóm nhân số nguyên modulo $n$

Những trạng thái

... mặc dù cho nguyên tố $n$ không có công thức chung để tìm máy phát điện được biết đến.

Vì vậy, tôi cũng quan tâm đến bất kỳ tiến bộ từng phần nào được thực hiện trong lĩnh vực này, xác định thứ tự của các yếu tố trong ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Answer 1

Ở đây chúng tôi 'tạo mẫu' nhóm tuần hoàn lớn hơn $K_{2p}$ được tạo ra bởi $[p-1]$ trong $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ cho $p \ge 5$.

Nhóm $K_{2p}$ có $2p$ các yếu tố.

Bộ $k = p-1$, một số nguyên chẵn.

Xác định danh sách các số bằng cách bắt đầu từ $p-1$ và tăng dần $2p$ trong khi ở bên dưới $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Bây giờ thêm $p$ đến từng số để tạo danh sách thứ hai,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

Các $\text{[.]}_{\, p^2}$ dư lượng của bộ số trong $G_1 \cup G_2$ chính xác là $k$ máy phát điện cho $K_{2p}$ có đơn đặt hàng $2p$.

Tiếp tục, chúng tôi sẽ xác định một danh sách các số khác bằng cách bắt đầu từ $p+1$ và tăng dần $2p$
(tương đương, thêm $2$ đến mọi số trong $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Bây giờ thêm $p$ đến từng số để tạo danh sách thứ hai,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

Các $\text{[.]}_{\, p^2}$ dư lượng của bộ số trong $H_1 \cup H_2$ chính xác là $k$ các yếu tố trong $K_{2p}$ có đơn đặt hàng $p$.

Từ $2p - 2k = 2$ có hai yếu tố vẫn được tính đến $K_{2p}$. Nhưng đó là hai yếu tố$\{[1],[p^2-1]\}$ thỏa mãn $x^2 = 1$.

---

Ví dụ như $p = 11$ chỉ định nhóm con thích hợp $K_{22}$ của $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

Các yếu tố của trật tự $22$ bao gồm

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

Các yếu tố của trật tự $11$ bao gồm

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

Các yếu tố của trật tự $2$ bao gồm

$\quad [120]$

Các yếu tố của trật tự $1$ bao gồm

$\quad [1]$