Không gian con bổ sung, câu hỏi Đúng / Sai

Question

Đúng hay sai?

$W_1$, $W_2$ và $W_3$ là không gian con từ không gian vectơ $V$. Nếu$W_1 ⊕ W_2 = V$ và $W_1 ⊕ W_3 = V$ , sau đó $W_2 = W_3$.

Tôi thực sự đã hỏi câu hỏi nhỏ hơn này trong một kỳ thi và tôi đã nói nó đúng nhưng sau đó tôi được cho là sai. Ai đó có thể giải thích cho tôi tại sao để tôi có thể trực giác thấy nó trong đầu rằng nó thực sự là sai. Chỉ khi đó tôi mới có thể đưa ra một ví dụ ngược lại.

Cảm ơn trước.

Answer 1

$W_2$ và $W_3$ là đẳng cấu, nhưng có thể không cùng một không gian con.

Một cách để xem xét điều này là trước tiên hãy chọn một cơ sở $B$ của $W_1$. Có nhiều cách khác nhau để mở rộng cơ sở này sang cơ sở$W_1 \oplus W_2$, vì vậy các vectơ bổ sung được thêm vào $B$ có thể trải dài các không gian con khác nhau.

Một cách khác là tưởng tượng một sự tự động hóa $\alpha$ của $V$, (I E $\alpha:V \to V$là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch). Giả sử rằng$W_1$ là một không gian con bất biến của $\alpha$. Sau đó$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ cho tất cả những điều đó $\alpha$.

Answer 2

Quả thực là sai! Bạn có ví dụ rằng$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ nhưng $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$