Làm thế nào để giải quyết 1990 IMO Q3

Question

Đối với bài học của tôi theo thứ tự, một trong những bài tập mà giáo viên của tôi đã giao cho tôi là Câu hỏi 3 của bài báo IMO năm 1990:

Tìm tất cả các số nguyên $n>1$ như vậy mà $\frac{2^n+1}{n^2}$ là một số nguyên.

Nỗ lực của tôi:

---

Chúng ta có $$n^2|2^n+1\Rightarrow2^n+1\equiv0\pmod{n^2}\Rightarrow2^n\equiv-1\pmod{n^2}\Rightarrow2^{2n}\equiv1\pmod{n^2}$$ Hoặc $\text{ord}_{n^2}(2)=1$, $\text{ord}_{n^2}(2)=2$, $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ Ở đâu $d|n$, hoặc là $\text{ord}_{n^2}(2)=2d$ Ở đâu $d|n$ nhưng $2d\nmid n$.

Nếu $\text{ord}_{n^2}(2)=1$, $2^1\equiv1\pmod{n^2}$, sau đó $n^2=1\Rightarrow n=1$. Điều này mâu thuẫn với các yêu cầu đối với$n$.

Nếu $\text{ord}_{n^2}(2)=2$, $2^2\equiv1\pmod{n^2}$, sau đó $n^2=1$ hoặc là $3$ vì thế $n$ Là $1$ hoặc là $\sqrt3$. Điều này cũng mâu thuẫn với các yêu cầu đối với$n$.

Nếu $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ thì tồn tại một số nguyên $k$ như vậy mà $dm=n$. Sau đó$2^n=2^{dm}=\left(2^d\right)^m\equiv1^m=1\pmod{n^2}$. Điều này mâu thuẫn$2^n\equiv-1$ mà chúng tôi đã trình bày trước đó.

vì thế $$\text{ord}_{n^2}(2)=2d$$

Theo Định lý Euler $2^{\phi(n^2)}\equiv1\pmod{n^2}$, vì thế $2d|\phi(n^2)$. Như$\phi(n)=n\prod_{p|n}\frac{p-1}p=nk$ Ở đâu $k=\prod_{p|n}\frac{p-1}p$và $n$ và $n^2$ chia sẻ các yếu tố nguyên tố giống nhau, chúng tôi có $$\phi(n^2)=n^2\prod_{p|n}\frac{p-1}p=n\left(n\prod_{p|n}\frac{p-1}p\right)=n(nk)=n\phi(n)$$

Tiếp tục,

$$2d|\phi(n^2)\Rightarrow2d|n\phi(n)\Rightarrow2|m\phi(n)$$

Ở đâu $dm=n$. Điều này có nghĩa là$m$ là thậm chí (ngụ ý $n$ là thậm chí) hoặc $\phi(n)$ là thậm chí.

---

Thật không may, tôi vẫn còn lâu mới thực sự giải quyết được vấn đề. Rõ ràng là hiển thị$n$ là thậm chí hoặc $\phi(n)$ thậm chí là không đủ để cho thấy rằng $\frac{2^n+1}{n^2}$ là một số nguyên (các ví dụ đếm bao gồm $n=4$ và $n=5$). Có vô số con số thỏa mãn các điều kiện tôi đã đặt ra. Tuy nhiên, tôi không chắc chắn về cách tiếp tục, vì vậy tôi muốn được hỗ trợ để hoàn thành câu hỏi.

Answer 1

$\textbf{Hint:}$Hãy xem xét ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$.

Sau đó, sử dụng bổ đề "nâng số mũ".

Sau đó, một lần nữa hãy xem xét số nguyên tố nhỏ thứ hai của $n$

Lúc đầu hãy xem xét ước số nguyên tố nhỏ nhất nói $p$ của $n$.Không thể được $2$. Sau đó,$2^{2n}=1 \pmod {p}$, mà còn bởi FLT $2^{p-1}=1 \pmod {p}$.

Hai điều này cùng ngụ ý rằng $2^{gcd(p-1,2n)}=1 \pmod {p}$.Nhưng bây giờ, $gcd(p-1,2n)=2$ kể từ, bất kỳ số nguyên tố nào khác của $n$ sẽ lớn hơn $p-1$Điều này ngụ ý rằng $3$ phải là số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ .từ $2^2=1 \pmod{p}$ từ phía trên.

Bây giờ, hãy suy luận bằng cách sử dụng điều đó để nâng bổ đề số mũ rằng lũy ​​thừa cao nhất của $3$ chia rẽ $n$ Là $1$Sau đó, hãy xem xét số nguyên tố nhỏ nhất của $n/3$.

Sử dụng đối số tương tự như trên để cho thấy nó phải $7$.Nhưng từ thực tế rằng $3 \mid n$ cho thấy rằng điều đó không thể xảy ra. Vì vậy, giải pháp duy nhất sẽ là $n=3$

(chi tiết là không giới hạn vì tôi đã viết nó để phục vụ nó như một gợi ý)

Để biết giải pháp chi tiết. Xem tại đây: aops