Một câu hỏi về không gian số liệu được xác định trên $\mathbb{Q}$.
Xem xét $\mathbb{Q}$là tập hợp của tất cả các số hữu tỉ. Xác định$d(p,q)=|p-q| $. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ đã đóng cửa.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ đã đóng cửa.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ là nhỏ gọn.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ là nhỏ gọn.
Vì vậy, tôi đã suy nghĩ về nó, trong đó tùy chọn 4. không đúng vì điều này không bị ràng buộc. Vì vậy, không nhỏ gọn theo sau từ không ràng buộc. Vì vậy, Nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng ở đây, tập hợp trong 4. Và tôi nghĩ không có 1. đã đóng, vì nó bổ sung là$\mathbb{Q}$ liên hiệp một số mở thiết lập trong $\mathbb{R}$.
Đối với câu lệnh khác, chúng tôi có thể sử dụng tiêu chí chung là "Một không gian số liệu là nhỏ gọn, nó hoàn chỉnh và hoàn toàn bị giới hạn". Nhưng tôi cần một số trợ giúp để làm điều này.
Trả lời
Chúng ta có thể viết 1. as $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ là một tập hợp mở thực (các khoảng mở được mở) được giao với $\Bbb Q$, do đó, tập hợp đó được mở trong $\Bbb Q$. Nó cũng đóng cửa trong$\Bbb Q$ bởi vì chúng tôi cũng có thể viết nó là $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, bị đóng cửa vì những lý do tương tự.
2 được đóng lại vì chúng ta có thể viết nó là $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ và như yếu tố của nó $2$không phải là một điểm bên trong của nó, nó không mở.
Tập hợp dưới 3 cũng giống như dưới 2 vì vậy thực sự là đóng, như chúng ta đã thấy, vì vậy nó có thể nhỏ gọn, vì nó cũng bị giới hạn. Nhưng trên thực tế thì không, vì chúng ta có thể chọn bất kỳ$p$ "trong" bộ (nói $\sqrt{3}$ sẽ làm) và tìm một chuỗi các số hữu tỉ $q_n$ trong tập hợp hội tụ đến $p$ trong thực tế (điều này luôn có thể được thực hiện). Nhưng sau đó trình tự$(q_n)_n$ là Cauchy (xét cho cùng thì nó hội tụ trong thực tế) nhưng không hội tụ trong $\Bbb Q$(như điểm duy nhất nó có thể hội tụ không nằm trong tập hợp). Vì vậy bộ không nhỏ gọn. Một lý do sâu xa hơn khiến nó không nhỏ gọn (mà bạn có thể chưa đề cập đến) là tập hợp có thể đếm được nhỏ gọn trong không gian số liệu phải có một điểm riêng biệt và tập hợp này không có. Nhưng tính không đầy đủ (hoặc thực tế có liên quan rằng chúng ta có một dãy không có dãy con hội tụ) có thể được sử dụng để bác bỏ tính chặt chẽ ở cấp độ cơ bản hơn.
Đối với 4, trong tất cả các không gian số liệu, chúng tôi biết rằng "$A$ gọn nhẹ $\implies$ $A$đóng và giới hạn; Heine-Borel là hàm ý ngược chứa trong các tập con của$\Bbb R^n$trong hệ mét Euclide. "Lực" của nó là nhanh chóng chứng tỏ sự gọn nhẹ. Nhưng hàm ý luôn hợp lệ có thể được sử dụng để dễ dàng bác bỏ tính nhỏ gọn và 4 là một ví dụ: không bị giới hạn nên không phải là hàm ý hợp lệ trong bất kỳ không gian số liệu nào.
Một bộ $A$ trong một không gian số liệu là nhỏ gọn iff mọi trình tự trong $A$ có dãy con hội tụ có giới hạn thuộc về $A$. Trình tự$\{1,2,3,..\}$ là một dãy trong tập đã cho không có dãy con hội tụ nên tập trong 4) không gọn.
Ngoài ra, bạn có thể sử dụng thực tế rằng $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ là một bìa mở của tập hợp không có bìa phụ hữu hạn.