Nhúng của $\sqrt{|i-j|}$ khoảng cách vào $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$
Xem xét không gian số liệu $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ như vậy mà:
$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$
Có thể $(X,d)$ được nhúng đẳng áp vào $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Nếu đúng như vậy, chúng ta có thể tìm một phép đẳng lập tự nhiên nào đó không$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?
Để thêm một số ngữ cảnh, tôi xem xét cuộc dạo chơi ngẫu nhiên:
$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$
ở đâu $X_i$là những người Gaussian tiêu chuẩn độc lập. $S=(S_1,\ldots,S_n)$ được phân phối bình thường (bởi vì các phép chiếu của nó dọc theo mỗi hướng), vì vậy sẽ tồn tại $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ như vậy mà:
$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$
Ở đâu $g$ là một $n$- tiêu chuẩn chiều Gaussian. Nhưng hóa ra:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$
ngụ ý sự tồn tại của phép nhúng. Tôi đã tự hỏi liệu có tồn tại một bằng chứng rõ ràng về điều đó (chắc chắn, phải có!).
Trả lời
Đây là một cách nhúng như vậy: xác định $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$