Nhúng của $\sqrt{|i-j|}$ khoảng cách vào $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Aug 16 2020

Xem xét không gian số liệu $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ như vậy mà:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Có thể $(X,d)$ được nhúng đẳng áp vào $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Nếu đúng như vậy, chúng ta có thể tìm một phép đẳng lập tự nhiên nào đó không$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?


Để thêm một số ngữ cảnh, tôi xem xét cuộc dạo chơi ngẫu nhiên:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

ở đâu $X_i$là những người Gaussian tiêu chuẩn độc lập. $S=(S_1,\ldots,S_n)$ được phân phối bình thường (bởi vì các phép chiếu của nó dọc theo mỗi hướng), vì vậy sẽ tồn tại $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ như vậy mà:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

Ở đâu $g$ là một $n$- tiêu chuẩn chiều Gaussian. Nhưng hóa ra:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

ngụ ý sự tồn tại của phép nhúng. Tôi đã tự hỏi liệu có tồn tại một bằng chứng rõ ràng về điều đó (chắc chắn, phải có!).

Trả lời

3 BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:16

Đây là một cách nhúng như vậy: xác định $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$