Tại sao dãy này không hội tụ đồng nhất?
Trong vấn đề này được giải thích rằng $f_n(x)$là hội tụ điểm, tuy nhiên không hội tụ đồng nhất. Giải thích tại sao không hội tụ đơn nhất cũng được đưa ra. Tuy nhiên tôi không thể hiểu nó, khi tôi sử dụng định lý dưới đây, tôi nhận được giới hạn đó là$f_n - f = 0$ Có thể ai đó có thể cho tôi câu trả lời chi tiết hơn tại sao chuỗi là đồng nhất hội tụ?
Trả lời
Từ $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, bạn có $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Nói cách khác,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$và đặc biệt, nó không phải là sự thật$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Vì vậy, sự hội tụ không đồng đều.
Đầu tiên, bạn phải xác định giới hạn theo chiều kim . Để cho$x\in[0,1]$. Đối với$n>1/x$, $f_n(x)=0$, vì vậy giới hạn theo chiều kim là $0$.
Như lời giải thích cho thấy, chúng tôi có $\|f_n\|_\infty=n/4$. Vì vậy,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ và sử dụng định lý bạn đã trích dẫn, giới hạn của phân kỳ siêu đỉnh tương đương với $f_n$ không hội tụ đồng nhất.
Theo định nghĩa về sự hội tụ của một chuỗi trong không gian chuẩn (hoặc trong không gian metric tổng quát) thì dãy (fn) không thể hội tụ đến f vì chuẩn (ở đây là siêu chuẩn) của (fn - f)> = 1/4 cho tất cả n.