Tích hợp $2$- định dạng trên hình cầu bằng cách sử dụng phép chiếu lập thể
Để cho $\omega$ là $2$ hình thức $\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$ trên $S^2$. Tôi muốn hòa nhập$\int_{S^2} \omega$ sử dụng định nghĩa, với phép chiếu lập thể ${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$ được cho bởi $$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$ Sau đó $$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$ Tôi tiến hành tính toán ${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$. Nó là$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$ Ví dụ, $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ và tương tự $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ và $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$ Bây giờ chúng tôi tính toán các sản phẩm ngoại thất: $$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$ vì thế $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$nếu tôi không có bất kỳ sai lầm. Nhưng làm thế nào tôi có thể tiếp tục với biểu thức này? Mặt khác, tôi biết rằng tích phân phải là$4 \pi$.
Trả lời
Kết quả của bạn cho đến nay thực sự là tất cả các chính xác. Để tiếp tục, bạn chỉ cần bớt háo hức một chút trong việc mở rộng tất cả các biểu thức, nhưng hãy chọn tính toán nhiều hơn. Đặc biệt, kết quả cho$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$có thể được tính toán. Tử số thực sự chỉ là$4(u^2+v^2-1)^2$. Khi bạn thêm pullback của hai thuật ngữ khác, bạn đang thêm$16(u^2+v^2)$đến tử số. Do đó bạn nhận được$4(u^2+v^2+1)^2$, loại bỏ gọn gàng với mẫu số.
Ngoài ra, nếu bạn đủ quen với việc mở rộng $(x+y+z)^2$, bạn có thể nhận ra ngay rằng tử số của kết quả cuối cùng của bạn là $4(u^2+v^2+1)^2$.
Để tiếp tục với tích phân, bạn có thể chuyển tích phân thành tọa độ cực trong $uv$- máy bay, hoặc làm điều đó với sự thay thế trig. Phương pháp trước đây là dễ dàng hơn cho đến nay.