Trong bối cảnh của DFT, Mẫu tần số Nyquist nằm ở đâu trong phổ tần số hai mặt (Mặt dương / Mặt âm)?

Jan 10 2021

Nếu chúng ta có một số điểm dữ liệu chẵn $N$, sau DFT trong MATLAB, đầu ra có thứ tự:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

Đối với tín hiệu thực, đầu ra đầu tiên tương ứng với $k$= 0, là thực và tần số Nyquist cũng vậy. Sau các số đó là các liên hợp phức tạp.

Nếu chúng ta quan tâm đến phổ một mặt, tần số Nyquist được hiển thị ở mặt tích cực.

Tuy nhiên, khi vẽ phổ tần số hai mặt, nhiều tác giả đặt tần số Nyquist về mặt âm.

Một số phần mềm như OriginPro thì ngược lại. Có cách nào về cơ bản là đúng hay đó chỉ là một quy ước, tức là,

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

Ngoài ra, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

Ở đâu $k$ là vectơ chỉ số DFT, được sử dụng để xây dựng trục tần số như

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

Ở đâu $\Delta t$ là khoảng thời gian lấy mẫu.

Nhiều người nói đó chỉ là quy ước và cả hai đều đúng. Cảm ơn.

Trả lời

3 OverLordGoldDragon Jan 10 2021 at 16:26

Đó là quy ước, chúng tương đương:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB và Numpy đi $[-N/2, ..., N/2-1]$, điều này thật đáng tiếc đối với các biểu diễn phân tích (chỉ dành cho tần suất sử dụng). Cũng lưu ý rằng giá trị của nó được tăng gấp đôi so với các thùng khác (nhưng không phải theo cách thủ công; chúng tương quan theo cách này), vì vậy theo một nghĩa nào đó, đó là cả tần số âm và tần số dương, vì vậy năng lượng được bảo toàn:

Bạn có thể cho biết tùy chọn của thư viện bằng fftshift tài liệu :

robertbristow-johnson Jan 10 2021 at 12:04

Giả định $x[n]$ là có thật, dẫn đến $X[k]$"đối xứng Hermitian" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

và nếu $N$ là chẵn, sau đó là giá trị trong DFT bin $X[\tfrac{N}{2}]$(là đại lượng thực có phần ảo bằng không) nên được chia thành hai nửa bằng nhau. Một nửa nên được đặt ở$k=-\tfrac{N}{2}$ và nửa còn lại được đặt ở $k=+\tfrac{N}{2}$.

Câu trả lời trước đây đề cập đến điều này.