Trường dư của hỗn hợp hai trường

Question

---

[Câu hỏi]

tôi biết điều đó $K'\cdot K''$ là một phần mở rộng chưa hợp nhất của $K$ nhưng tôi không biết tại sao $K'\cdot K''$ có một trường cặn $k'$.

có phải luôn luôn đúng rằng $K_1\cdot K_2$ có một trường cặn $k_1 \cdot k_2$? (Ở đâu$k_1,k_2$ là các trường dư lượng của $K_1, K_2$)

Tôi nghĩ rằng nếu chúng ta chứng minh được mệnh đề 7.50, thì chúng ta có thể sử dụng " $K_1\cdot K_2$ có một trường cặn $k_1 \cdot k_2$" trong tình huống này.

Tuy nhiên, chúng ta không thể sử dụng thực tế đó trong khi chứng minh mệnh đề này.

Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều này?

Cám ơn vì sự quan tâm của bạn.

tài liệu tham khảo ( Lý thuyết số đại số của JS Milne ) và bài đăng này 1 : Lý luận kỳ lạ của các phần mở rộng chưa được tổng hợp có các trường phần dư giống nhau.

Answer 1

Đối với $K/\Bbb{Q}_p$ một phần mở rộng hữu hạn sau đó $F/K$ là iff không xác định $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ với $p\nmid n$ và $q= |O_F/(\pi_F)|$. Đây là ứng dụng chính của bổ đề Hensel.

Khi nào $E/K,E'/K$ được chia nhỏ thì không phải lúc nào trường dư lượng của $EE'$ là trường nhỏ nhất chứa $E,E'$, hãy thử với $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.

Khi nào $E'/K$ sau đó không được xác định $EE'=E(\zeta_{q-1})$ có trường cặn $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.