Vấn đề với bao thanh toán $x^4-x^3+x^2-x+1$
Tôi muốn tính tích phân sau bằng cách sử dụng phân số từng phần: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Vì vậy, tôi phân tích mẫu số:
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
Đối với bước tiếp theo, tôi đã tìm kiếm trên internet và thấy rằng tôi nên phân hủy$x^4-x^3+x^2-x+1$ như thế này:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
Và sau đó $a,b$ có thể được tìm thấy một cách dễ dàng.
Câu hỏi của tôi là Tại sao các hệ số của $x^2,x^0$ Chúng tôi $1$?
Vì tôi có thể viết lại:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
Và điều duy nhất tôi có thể thấy trong cái nhìn đầu tiên là $ad=1,cf=1$ và tôi không có manh mối rằng tại sao $a=d=c=f=1$
Bạn có thể xem câu trả lời của anh ấy bên dưới:

Trả lời
Nói chung, hai đa thức được cho phép nhân một hằng số (bạn có thể nhân một với $k$ và khác bởi $1/k$), vì vậy bạn có thể sắp xếp nó theo cách $a=d=1$được đảm bảo. Ví dụ$x^2+4x+4$ có thể được tính là $(x+2)(x+2)$ nhưng cũng như $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Vì vậy, chúng tôi có thể tự do sửa một trong các hệ số để làm cho câu trả lời là duy nhất. Tuy nhiên, nếu bạn làm điều này, thì bạn không có sự lựa chọn cho người khác, vì vậy một khởi đầu đúng đắn ở đây là$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
Chắc chắn bạn có thể thực hiện một số phép tính khác để có thêm thông tin về các hệ số hằng số, nhưng trước đó thì không.
Cũng theo ví dụ được sửa đổi một chút cho thấy rằng giả sử cả hệ số hàng đầu và hệ số hằng số là $1$ ngay từ đầu đã sai:
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong câu hỏi khác được liên kết, trong trường hợp này, nó có thể được sử dụng (nhưng không được giải thích) rằng đa thức là palindromic (tương hỗ), có nghĩa là các gốc của nó đi theo cặp. $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (nó là kết quả của $x^4f(1/x)=f(x)$). Điều này cho phép bạn mong đợi các yếu tố trong một biểu mẫu$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ hoặc chung chung hơn $x^2-ax+1$.
Giả sử rằng bạn có một monic (ví dụ: hệ số đứng đầu là 1) đa thức bậc 4 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ mà bạn thừa số thành hai đa thức bậc 2:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
Sau đó, bạn có thể chia mỗi hệ số của đa thức đầu tiên cho $e$ và nhân mỗi hệ số của đa thức thứ hai với $e$. Điều này tạo ra:$(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
Tuy nhiên, vì tích của hai đa thức này là
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
sau đó$h \times e$ phải = 1. $
Do đó, đa thức bậc 4 đã được tính thành hai đa thức bậc 2. Như những người khác đã chỉ ra, theo tính toán này, chỉ vì hệ số $ x ^ 0 $ trong đa thức bậc 4 là 1 không có nghĩa là các hệ số $ x ^ 0 $ trong hai đa thức bậc 2 đều phải là một. Tất cả những gì bạn có thể nói chắc chắn là tích của hai hệ số $ x ^ 0 $ trong hai đa thức bậc 2 phải = 1.
Nếu tôi hiểu đúng, nó chỉ như vậy xảy ra là khi các đa thức bậc 4 Monic đưa ra trong các truy vấn ban đầu là yếu tố thành hai hệ số mức độ 2 Monic, cho rằng hệ số mức độ 4 Đặc biệt, kết quả Monic đa thức bậc 2 xảy ra để có họ $ x ^ 0 $ hệ số mỗi = 1.
Phụ lục Tập trung vào đa thức bậc 4 ban đầu của OP
Trước hết, hãy xem xét đa thức bậc 4 bằng
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]). $
Đây là một ví dụ phản chứng đơn giản mà tích sẽ có dạng $ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
Chỉnh sửa Chà, điều này thật bối rối:
Tôi chỉ nhận ra rằng ví dụ phản bác của tôi ở trên là thiếu sót . Tức là, khi $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ được kết hợp thành một đa thức bậc 4 monic, có thể có nhiều cách khác để tính theo bậc 4 này đa thức phù hợp với mẫu ban đầu được đề xuất cho OP.
Dù sao, phần còn lại của phụ lục này xem xét các ràng buộc theo cách rất giống với https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients liên kết mà ai đó đã nhận xét.
Tất cả phân tích này đặt ra câu hỏi tại sao dường như có một gợi ý cho hệ số
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ thành
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ lần (x ^ 2 - bx + 1). $
Tôi phỏng đoán rằng những gì đang thực sự xảy ra là nó đã được phỏng đoán rằng $ f (x) $ có thể được tính đến như vậy.
Do đó, học sinh được yêu cầu khám phá phỏng đoán , và xem liệu nó có đúng không. Việc khám phá dẫn đến các ràng buộc sau đối với $ a $ và $ b $ :
(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $
Lưu ý rằng bạn có ba ràng buộc đối với hai biến $ a $ và $ b. $
Tuy nhiên, vì các ràng buộc (1) và (3) giống hệt nhau, bạn chỉ có hai ràng buộc.
Ngay cả khi cả hai ràng buộc (1) và (2) là tuyến tính, điều này (nói chung) vẫn không đảm bảo một nghiệm [ví dụ: r + s = 6. 2r + 2s = 11].
Trong trường hợp hiện tại, ràng buộc (2) là phi tuyến tính, điều này làm cho nó thậm chí còn kém hơn. Lưu ý: Tôi đang ở trên băng mỏng ở đây, tôi chưa bao giờ nghiên cứu ảnh hưởng của việc kết hợp 1 ràng buộc tuyến tính với 1 ràng buộc phi tuyến tính.
Tuy nhiên , khám phá như dự định, có lẽ, có thể tìm thấy các giá trị thỏa mãn của $ a $ và $ b $ . Nhìn vào $ f (x), $ nhận thấy rằng ràng buộc (3) giống hệt với ràng buộc (1) chính xác vì trong $ f (x) $, các hệ số $ x ^ 3 $ và $ x ^ 1 $ giống hệt nhau.
Do đó, có thể lập luận rằng phỏng đoán được đề xuất có động cơ tốt.