Xấp xỉ một phép biến đổi Fourier

Jan 03 2021

Giả sử biến đổi Fourier $\hat{f}(k)$ (với $k \in \mathbb{R}^d$) được đưa ra và người ta dự định lấy một số thông tin về đối tác không gian vị trí của nó $f(x)$. Khi tính toán phân tích của biến đổi Fourier ngược của$\hat{f}(k)$ là không thể, người ta vẫn có thể trích xuất thông tin hữu ích bằng cách chuyên về các khu vực cụ thể của $k$không gian; ví dụ, trong vật lý thống kê, thông thường nghiên cứu các thuộc tính "vĩ mô" của, ví dụ, các hàm tương quan, bằng cách kiểm tra$k\to 0$giới hạn của các phép biến đổi Fourier của chúng. Đối với tôi, quá trình như vậy hơi tương tự như xem xét chuỗi Taylor của một phép biến đổi Fourier , tức là, \ begin {method} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ part_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {method} Nếu một người cắt bớt chuỗi này rồi cố gắng thực hiện phép biến đổi Fourier ngược,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ trong một số trường hợp, người ta có thể thấy rằng kết quả khác nhau như $k\to\infty$. Tuy nhiên, trong nhiều lý thuyết, và đặc biệt là trong các lý thuyết hiện trường, có một giới hạn trên cho$k$xác định phạm vi hiệu lực của lý thuyết đó; một điểm cắt như vậy thường giải quyết sự phân kỳ có thể có của phép biến đổi Fourier ngược.

Câu hỏi Hàm vị trí-không gian nhận được từ phép biến đổi nghịch đảo của chuỗi Taylor cắt ngắn$\hat{f}_{\rm trunc}$, với một số giới hạn $\Lambda$, gần đúng với hàm ban đầu$f(x)$theo nghĩa nào? nếu không, có cách nào có hệ thống để thu được dạng gần đúng như vậy từ phép biến đổi Fourier của nó không$\hat{f}(k)$?

Trả lời

G.Carugno Jan 13 2021 at 19:53

Khi bạn cắt bớt phần mở rộng Taylor xung quanh $0$, bạn đang nói rằng bạn quan tâm đến các chế độ có bước sóng dài. Đây thường là những chế độ tồn tại lâu dài, vì vậy trong thời gian dài, chúng sẽ mô tả gần đúng hệ thống của bạn. Về mặt tinh thần, nó giống như thực hiện một quá trình tạo hạt thô: bạn quên đi những động lực học vi mô nhanh và chỉ giữ lại thông tin vĩ mô. Theo một nghĩa chặt chẽ hơn, người ta có$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, vì vậy nếu biến đổi fourier gần đúng của bạn là tốt trong $L^2$ cảm giác vì vậy nó sẽ là xấp xỉ của không gian vị trí $f(x)$.