Bao nhiêu $3\times 3$ mảng với các chữ số từ $1$ đến $9$ với thứ tự ngày càng tăng có?
Các mục trong một $3 \times 3$ mảng bao gồm tất cả các chữ số từ $1$ xuyên qua $9$, được sắp xếp sao cho các mục trong mỗi hàng và cột có thứ tự tăng dần. Có bao nhiêu mảng như vậy?
Đây là một câu hỏi về tổ hợp. Tôi đã thử sử dụng tableaus và sử dụng hook number nhưng không thể hiểu được sau đó, vui lòng cho biết cách giải quyết vấn đề này. Nó sẽ dễ dàng hơn cho tôi nếu giải quyết bằng cách sử dụng tổ hợp thông thường. Nhưng không có hạn chế. Đó là sự lựa chọn của bạn
Trả lời
Sử dụng ký hiệu $(A,B,C)$ để mô tả số $C$ được đặt ở $A$ hàng và $B$cột. Do tính đối xứng, phép chuyển vị (phản xạ qua đường chéo chính) của bất kỳ nghiệm nào là một nghiệm khác, nói cách khác, nếu chúng ta có một nghiệm:$$\{(A_1,B_1,1), (A_2,B_2,2), (A_3,B_3,3), (A_4,B_4,4), (A_5,B_5,5), (A_6,B_6,6), (A_7,B_7,7), (A_8,B_8,8), (A_9,B_9,9)\}$$ thì chúng tôi cũng có một giải pháp: $$\{(B_1,A_1,1), (B_2,A_2,2), (B_3,A_3,3), (B_4,A_4,4), (B_5,A_5,5), (B_6,A_6,6), (B_7,A_7,7), (B_8,A_8,8), (B_9,A_9,9)\}$$
Bởi vì mọi hàng và cột phải có thứ tự tăng dần, chúng tôi biết rằng giải pháp của chúng tôi phải bao gồm $(1,1,1)$ và $(3,3,9)$.
Chúng tôi có hai sự lựa chọn để đặt số $8$. Do tính đối xứng, chúng tôi sẽ chỉ xem xét các giải pháp với$(3,2,8)$, và sẽ chỉ cần tăng gấp đôi số giải pháp.
Bây giờ chúng tôi có hai sự lựa chọn để đặt $7$:
Trường hợp 1: $(3,1,7)$
Con số $6$ bị khóa trong như $(2,3,6)$. Con số$5$ có thể ở trong $(2,2,5)$ hoặc là $(1,3,5)$. Nếu$(2,2,5)$, sau đó là những con số $2,3,4$phải ở trong ba vị trí còn lại; ngay sau khi chúng tôi chọn cái nào trong$(2,1,X)$, sau đó phần còn lại được khóa tại chỗ, đưa ra ba giải pháp với $(3,1,7)$ và $(2,2,5)$. Nếu$(1,3,5)$, thì chúng ta phải có $(2,2,4)$và chỉ có một trong hai $(1,2,2)$ và $(2,1,3)$ hoặc là $(1,2,3)$ và $(2,1,2)$ cho hai giải pháp khác.
Trường hợp 2: $(2,3,7)$
Những con số $5$ và $6$phải ở hai trong ba điểm của hình tam giác chính (góc trên bên phải, hình vuông ở giữa và góc dưới bên trái). Do đó$3!=6$cách chỉ định chúng. Trong hai trường hợp không có cái nào ở giữa, số$4$ phải ở khoảng giữa và có thể có hai cách sắp xếp cho các số $2$ và $3$. Trong bốn trường hợp còn lại, có hai trường hợp mà số$4$nằm trong không gian còn lại trên phản hình chính và một trong những nơi không có. Kết quả là tổng cộng có 16 cách sắp xếp nếu$(2,3,7)$.
Do đó, tổng số cách sắp xếp là $2(3+2+2\cdot2+4\cdot3)=42$
Các $1$ và $9$phải đi rõ ràng ở góc trên bên trái và góc dưới bên phải, tương ứng. Dễ dàng nhận thấy rằng$5$ không thể tiếp giáp với $1$ hoặc là $9$, do đó nó phải đi vào một trong ba điểm trên đường chéo "chống". Phát minh ra một chút ký hiệu, chúng ta có thể viết số khả năng là
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}+2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}$$
nơi "$\#$"của một $3\times3$ mảng biểu thị số lượng giải pháp với $1$, $5$và $9$ ở các vị trí được chỉ định, với mỗi $*$ được hiểu là một số giữa $1$ và $5$ và mỗi $-$ một số giữa $5$ và $9$. Các "$2\times\,$"là đối xứng sẽ có $5$ở góc dưới bên trái. Theo cùng một đối xứng, chúng ta có
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&*\\*&5&-\\-&-&9}$$
và bây giờ dễ dàng nhận thấy rằng ba $*$có thể được điền bằng các số $2$, $3$và $4$ chỉ trong $3$ những cách khác nhau và tương tự như vậy đối với ba $-$với những con số $6$, $7$và $8$, vậy nên
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times3\times3$$
Một đối số đối xứng hơi khác cho chúng ta biết
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}$$
và trong trường hợp này bây giờ $4$ chỉ có một điểm mà nó có thể đi vào:
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}=\#\pmatrix{1&*&5\\*&4&-\\-&-&9}=2\times3$$
Gộp mọi thứ lại với nhau, tổng số cách sắp xếp là
$$(2\times3\times3)+(2\times2\times\times2\times3)=18+24=42$$
Nhận xét (bổ sung sau): Để rõ ràng và chính xác, đối xứng "hơi khác" cho chúng ta biết
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}=\#\pmatrix{1&*&5\\*&-&-\\*&-&9}$$
là sự phản chiếu qua đường chéo "chống" theo sau (hoặc đứng trước) bởi sự thay thế số $k\to10-k$ cho mỗi $k\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.