Biểu diễn ma trận của các nhóm trật tự nonabelian $p^3$?

Question

Khi bạn nhìn vào các nhóm thứ tự $p^3$ (cho lẻ $p$) có $2$những người nonabelian. Một là nhóm Heisenberg có thể được coi là sản phẩm bán trực tiếp của$C_p \times C_p$ và $C_p$.

Dựa trên một số phép tính với GAP, tôi thấy rằng cái kia là sản phẩm bán chính xác của $C_{p^2}$ với $C_p$.

Có thể xem nhóm kia như một nhóm ma trận quen thuộc không?

---

gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

Trong một từ, 'không'. Thông báo rằng$\mathrm{GL}_n(q)$ cho $q$ sức mạnh của $p$ không thể có bất kỳ yếu tố nào của trật tự $p^2$ trừ khi $n>p$. Như vậy như$p$ tăng kích thước của nhóm ma trận phải phát triển.

Đó là một câu chuyện tương tự về các lĩnh vực đặc trưng không $p$. Bất kì$1$-các biểu diễn theo chiều của nhóm có trung tâm trong nhân. Các đại diện trung thành duy nhất có mức độ ít nhất$p$.

Vì vậy, nhóm này không có đại diện trung thực về mức độ nhỏ hơn $p$ trên bất kỳ lĩnh vực nào.

Chỉnh sửa: Không có biểu diễn ma trận trên bất kỳ trường nào, nhưng có trên một vòng . Nhóm này được đưa ra bởi$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

Tôi phát hiện ra điều này khi xem các ghi chú của Keith Conrad vừa rồi.