Bộ hủy hai không gian con của không gian kép của không gian vectơ vô hạn chiều

Aug 16 2020

Để cho $V$là một không gian vectơ vô hạn chiều$V^*$kép của nó.
Đối với một không gian con tuyến tính$W\subset V$ định nghĩa $W^ \circ\subset V^*$ như không gian con của các dạng tuyến tính trên $V$ biến mất $W$.
Dally, cho$\Gamma\subset V^*$ định nghĩa $\Gamma^\diamond \subset V$ dưới dạng tập hợp các vectơ $v\in V$ như vậy mà $\gamma(v)=0$ cho tất cả các dạng tuyến tính $\gamma\in \Gamma$.
Hơi ngạc nhiên nhưng không quá khó để chứng minh rằng chúng tôi có cho tất cả các không gian con$W\subset V$ sự bình đẳng $(W^\circ) ^\diamond=W$.
Nhưng có đúng là tất cả$\Gamma\subset V^*$ chúng ta có $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
Và có tài liệu tham khảo (bài báo, sách, bài giảng, ...) đề cập đến vấn đề này không?

Trả lời

5 LSpice Aug 16 2020 at 21:12

Không, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ không phải lúc nào cũng cần bằng $\Gamma$. Để cho$\mathcal B$ là cơ sở cho $V$, và để $\Gamma$ là khoảng của tập hợp 'kép' $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, vì thế $e_b(c)$là dấu ngoặc Iverson $[b = c]$ cho tất cả $b, c \in \mathcal B$. Sau đó$\Gamma^\diamond$$0$, vì thế $(\Gamma^\diamond)^\circ$ là tất cả $V^*$; nhưng$\Gamma$ bản thân nó không chứa, ví dụ, phần tử $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ của $V^*$.

3 lefuneste Aug 16 2020 at 21:26

Bình đẳng nói chung là sai.
Đây là một ví dụ ngược lại: sửa chữa một cơ sở$v_i, i\in I$ của $V$ và xem xét tập hợp các dạng tuyến tính tọa độ $v^*_i, i\in I$.
Các hình thức này độc lập tuyến tính nhưng không bao giờ hình thành cơ sở$V$là chiều vô hạn.
Vì vậy, hãy hoàn thành các biểu mẫu này để có cơ sở$(v^*_j), j\in J$ với $J\setminus I\neq\emptyset$.
Chọn$l\in J\setminus I$ và đặt $J'=J\setminus \{l\}$
Nếu bạn xác định $\Gamma \subset V^*$ như không gian vectơ được tạo bởi $v_j^*, j\in J'$, sau đó $\Gamma^\diamond =0$ (vì đã là không gian con của $V^*$ được tạo ra bởi $v_i^*, i\in I$ giết tất cả các vectơ trong $V$) vậy nên $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ mang lại mẫu đối chiếu được yêu cầu.