Các bằng chứng về luật giới hạn và luật phái sinh dường như ngầm giả định rằng giới hạn tồn tại ngay từ đầu
Giả sử tôi đang cố gắng tìm đạo hàm của $x^2$sử dụng sự khác biệt với các nguyên tắc đầu tiên. Đối số thông thường sẽ diễn ra như sau:
Nếu $f(x)=x^2$, sau đó \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} Như $h$ phương pháp tiếp cận $0$, $2x+h$ phương pháp tiếp cận $2x$, vì thế $f'(x)=2x$.
Trong suốt lập luận này, tôi cho rằng $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$thực sự là một đối tượng có ý nghĩa — giới hạn thực sự tồn tại. Tôi không thực sự hiểu điều gì biện minh cho giả định này. Đối với tôi, đôi khi giả định rằng một đối tượng được xác định rõ ràng có thể khiến bạn đưa ra kết luận không chính xác. Ví dụ, giả sử rằng$\log(0)$ có ý nghĩa gì, chúng tôi có thể kết luận rằng $$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$Vì vậy, giả định rằng$\log(0)$ đại diện cho bất cứ điều gì có ý nghĩa đã khiến chúng tôi kết luận sai rằng nó bằng $0$. Thông thường, để chứng minh rằng một giới hạn tồn tại, chúng ta thao tác nó cho đến khi chúng ta có thể viết nó ở dạng quen thuộc. Điều này có thể được nhìn thấy trong các bằng chứng về quy tắc chuỗi và quy tắc sản phẩm. Nhưng dường như sự thao túng đó chỉ có thể được biện minh nếu chúng ta biết giới hạn tồn tại ngay từ đầu! Vậy điều gì đang thực sự diễn ra ở đây?
Ví dụ khác, quy tắc chuỗi thường được phát biểu là:
Giả sử rằng $g$ có thể phân biệt được ở $x$, và $f$ có thể phân biệt được ở $g(x)$. Sau đó,$(f \circ g)$ có thể phân biệt được ở $x$, và$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
Nếu bằng chứng rằng $(f \circ g)$ có thể phân biệt được ở $x$chỉ đơn giản là tính toán đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa giới hạn, sau đó một lần nữa tôi cảm thấy không hài lòng. Việc tính toán này không một lần nữa đưa ra giả định rằng$(f \circ g)'(x)$ có ý nghĩa ngay từ đầu?
Trả lời
Đề xuất : Hãy để$c \in \mathbb{R}$. Giả sử$f$ và $g$ được xác định và bằng nhau trên một số quả bóng mở bị thủng $(c - \delta) \cup (c + \delta)$ của $c$, Ở đâu $\delta > 0$. Sau đó$\lim_{x \to c} f(x)$ tồn tại nếu và chỉ khi $\lim_{x \to c} g(x)$tồn tại. Và nếu một trong hai giới hạn tồn tại, thì giới hạn kia cũng vậy, và cả hai đều bằng nhau.
Phác thảo chứng minh : Quan sát định nghĩa giới hạn tại một điểm$c$ chỉ quan tâm đến các điểm gần với $c$ nhưng không bằng $c$. Vì vậy, bất kể giá trị của$f$ hoặc là $g$ tại $c$, hoặc đối với vấn đề đó cho dù chúng có được xác định ở đó hay không, không quan trọng. Từ$f$ và $g$ bằng nhau tại các điểm gần với $c$ nhưng không bằng $c$, tuyên bố giới hạn của chúng tôi về một trong hai chức năng tại $c$ do đó cũng phải giữ cho người kia. $\square$
Điều này biện minh cho các phép tính giới hạn khác nhau mà chúng tôi thường làm, chẳng hạn như phép tính bạn đã hiển thị. Trên thực tế, hãy để chúng tôi xem qua ví dụ của bạn từng bước.
Nếu $f(x)=x^2$, sau đó \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} Như $h$ phương pháp tiếp cận $0$, $2x+h$ phương pháp tiếp cận $2x$, vì thế $f'(x)=2x$.
Những chuỗi tính toán này thực sự có ý nghĩa hay ngụ ý gì? Chà, trong bước cuối cùng / bình đẳng, chúng tôi đã tính toán$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, mà chúng tôi đồng ý tồn tại và tương đương với $2x$. Kể từ khi chức năng$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ bằng $2x + h$ trong một số khu phố bị thủng của $0$, bây giờ chúng ta có thể sử dụng mệnh đề để kết luận rằng $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ bằng $\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, bằng $2x$. Vì vậy, đi từ dòng (3) đến dòng (2) là hợp lý. Tiếp theo, hàm$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ bằng $\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ trong một số khu phố bị thủng của $0$, vì vậy một lần nữa chúng ta có thể sử dụng mệnh đề để biện minh cho việc đi từ dòng (2) đến dòng (1).
Vì vậy, chúng ta đã suy luận ngược lại, nhưng thực tế mà nói, điều này không cần thiết trong các phép tính giới hạn thông thường. Lý luận của chúng ta cũng "hoạt động" ngay cả khi giới hạn không tồn tại. Nếu cuối cùng chúng ta đạt đến một giới hạn tồn tại, thì nhất thiết chúng ta có thể làm việc ngược lại và đảm bảo rằng giới hạn đầu tiên ban đầu tồn tại; và nếu cuối cùng chúng ta đạt đến một giới hạn không tồn tại, thì nhất thiết giới hạn đầu tiên ban đầu không thể tồn tại, nếu không, chúng ta có thể đi xuống chuỗi tương đương được đảm bảo bởi mệnh đề để đảm bảo rằng giới hạn cuối cùng tồn tại.
Vì vậy, trong mọi trường hợp, mọi thứ "hoạt động tốt". Điều quan trọng cần lưu ý đơn giản là chúng ta có một số điểm tương đương logic nhất định ở mỗi bước: giới hạn tồn tại ở một số bước nếu và chỉ khi nó tồn tại ở bất kỳ bước nào trước đó hoặc sau đó.
Bạn đúng là viết không thực sự có ý nghĩa $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$trừ khi chúng ta đã biết giới hạn tồn tại, nhưng nó thực sự chỉ là một vấn đề ngữ pháp. Nói một cách chính xác, trước tiên bạn có thể nói rằng thương số chênh lệch có thể được viết lại$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, và sau đó sử dụng thực tế rằng $\lim\limits_{h\to 0}x=x$ và $\lim\limits_{h\to 0}h=0$ cũng như luật bội hằng số và luật tổng cho các giới hạn.
Thêm vào câu cuối cùng: hầu hết các thuộc tính quen thuộc của giới hạn đều được viết "ngược" như thế này. Tức là, "luật tổng giới hạn" nói$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ miễn là $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ và $\lim\limits_{x\to c}g(x)$tồn tại . Tất nhiên, nếu chúng không tồn tại, thì phương trình chúng ta vừa viết là vô nghĩa, vì vậy chúng ta thực sự nên bắt đầu với khẳng định đó.
Trong thực tế, người ta thường có thể hơi ngẫu nhiên ở đây, nếu không vì lý do gì khác ngoài việc tiết kiệm số từ. Tuy nhiên, trong một lớp phân tích giới thiệu, bạn có thể muốn cẩn thận hết mức có thể.
Các câu trả lời khác là hoàn toàn tốt; chỉ là một viễn cảnh có thể cứu cả ngày của bạn trong những tình huống mà sự tồn tại của giới hạn thực sự là một điểm quan trọng.
Định nghĩa quan trọng là định nghĩa của limsup và liminf: chúng luôn được định nghĩa rõ ràng và tất cả những gì bạn phải biết vào lúc này là hai thuộc tính sau:
- $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
- Giới hạn của $f$ tồn tại nếu và chỉ khi $\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $, và trong trường hợp này, giới hạn đồng ý với giá trị này.
Bây giờ hãy tưởng tượng bạn thực hiện tính toán của mình hai lần: thứ nhất, bạn tính toán liminf; sau đó bạn tính toán limsup. Trong cả hai phép tính, ngay sau khi bạn đến thứ gì đó thực sự có giới hạn (như$2x+h$), vì thuộc tính (2), bạn có thể quên câu chuyện inf / sup và chỉ cần tính toán giới hạn.
Vì với một số thao tác, bạn đi đến một cái gì đó thực sự có giới hạn, cả hai phép tính sẽ cho kết quả giống nhau và do thuộc tính (2) một lần nữa, giới hạn tồn tại và trùng với giá trị bạn vừa tính.
Bây giờ đây không thực sự là điều bạn nên làm nếu bạn đang thực hiện phân tích giới thiệu và bạn không biết liminf và limsup: các thuộc tính hình thức của hai loại này hơi khác so với các thuộc tính chính thức của lim và bạn có thể gặp lỗi. Nhưng miễn là bạn không "chạm" vào giới hạn, và bạn chỉ thực hiện một số thao tác bên trong nó, đối số tương tự sẽ tiếp tục: nếu bạn kết thúc với một kết quả được xác định rõ, đó là giới hạn :)
Những gì chúng ta có ở đây thực sự nên được hiểu là nhiều câu lệnh:
(1.) Nếu $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $ tồn tại sau đó $ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ tồn tại và bằng $\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.
(2.) Nếu $ \lim_{h \to 0} [2x + h] $ tồn tại sau đó $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ tồn tại và bằng $\lim_{h \to 0} [2x + h]$.
(3.) Nếu $ \lim_{h \to 0} 2x$ tồn tại sau đó $ \lim_{h \to 0} [2x + h]$ tồn tại và bằng $ \lim_{h \to 0} 2x$.
(4.) $ \lim_{h \to 0} 2x$ tồn tại và bằng $ 2x $.
Lưu ý rằng khi chúng ta có (4.) thì phần "nếu" (có điều kiện) của (3.) được thỏa mãn và cứ tiếp tục như vậy cho đến (1.). Bạn có thể thấy rằng giả định rằng giới hạn tồn tại trong các câu từ 1 đến 3 không phải là một vấn đề bởi vì bạn đã không sử dụng giả định đó để chứng minh rằng nó thực sự có. Đó sẽ là logic vòng tròn và không tốt.
Ví dụ nhật ký của bạn khác với ví dụ này ở chỗ bạn không có một câu lệnh đóng vai trò của câu lệnh (4.) ở trên, điều này sẽ cho phép bạn thoát khỏi điều kiện. Bạn chỉ chứng minh rằng$\log(0) = 0$ NẾU $\log(0)$ tồn tại, không phải điều đó $\log(0)$tồn tại! Điều này tự nó không phải là một kết luận sai.
Nếu bạn muốn chính xác hơn, bạn có thể viết:
$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ nếu giới hạn tồn tại
$= \lim_{h→0} (2x+h)$ nếu giới hạn tồn tại
$= 2x$.
Có nghĩa là mỗi dòng chỉ giữ "nếu giới hạn tồn tại". Nhưng chúng tôi thực sự không cần phải làm như vậy trong hầu hết các trường hợp vì hai lý do:
Thông thường, đủ dễ dàng để thêm các điều kiện như vậy về mặt tinh thần và kiểm tra rằng chúng tôi đã không dựa vào sự tồn tại của giới hạn ở bất kỳ điểm nào.
Nếu chúng ta cho phép các biểu thức đạt được "giá trị không xác định" và xác định rằng mọi biểu thức có biểu thức con "không xác định" là bản thân nó không xác định, thì chúng ta thậm chí không phải viết điều kiện "nếu giới hạn tồn tại"! Nếu giới hạn không được xác định, thì "$\lim \cdots$"biểu thức sẽ chỉ có giá trị" không xác định ", điều này sẽ không dẫn đến bất kỳ kết luận sai nào.
Đạo hàm không tồn tại trừ khi tồn tại giới hạn của thương hiệu khác biệt.
"Luật giới hạn" nói rằng giới hạn của một tổng của hai hàm bằng tổng của hai giới hạn riêng biệt không được áp dụng trừ khi tồn tại hai giới hạn riêng biệt. Thông báo rằng
Không có trường hợp nào tồn tại hai giới hạn riêng và giới hạn của tổng thì không. Nếu tồn tại hai giới hạn riêng biệt thì giới hạn của tổng cũng vậy.
Tuy nhiên, có những trường hợp không tồn tại hai giới hạn riêng biệt và giới hạn của tổng thì có. Một tình huống tương tự áp dụng cho các sản phẩm thay vì tổng số đã phát sinh trong một cái gì đó tôi đã đăng ở đây gần đây (tôi không thể tìm thấy nó ngay bây giờ). Đối với một trong hai yếu tố, giới hạn không tồn tại, nhưng chức năng bị giới hạn và do đó, giới hạn của sản phẩm có thể được tìm thấy bằng cách bóp.
Vấn đề phần lớn sẽ biến mất nếu chúng ta chỉ cần xem xét $\lim$ và $\log$một cách rõ ràng dưới dạng các hàm từng phần . Một phần hàm có thể được xem như một hàm có tên miền chứa một phần tử bổ sung (có thể phân biệt được! ), Về cơ bản là “giá trị lỗi”.$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$ nơi chúng tôi có ví dụ $$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$
Bây giờ, luật logarit $$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$ được hiểu với từ "nâng lên" $+$toán tử, điều đó chỉ vượt qua thất bại ở cả hai bên. Nhưng điều đó có nghĩa là đối với toán tử này, chúng ta không thể suy ra từ$p+q=p$ cái đó $q=0$, bởi vì $\text{ERR}+q$là luôn $\text{ERR}$bất kể! Thay vào đó, chỉ từ$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$ Chúng ta có thể suy luận $q = \text{OK}(0)$. Vì vậy, chúng tôi không đi đến kết luận sai về$\log(0)$, bởi vì đó không phải là một $\text{OK}$ giá trị.
Áp dụng cho các giới hạn trong sự khác biệt, chúng ta có thể viết ngay lập tức$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$ chỉ cần lưu ý rằng kết quả có thể là $\text{ERR}$. Những gì chúng tôi cũng có thể làm mà không gặp bất kỳ vấn đề gì là viết lại biểu thức bên trong giới hạn bằng bất kỳ thứ gì - dưới dạng một hàm$h\mapsto\ldots$- thực sự là ( mở rộng ) giống nhau. Điều này đặc biệt không có vấn đề gì đối với$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$ bởi vì $h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ và $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ thực sự giống nhau cho tất cả $h\in\mathbb{R}$. Tuy nhiên, tại thời điểm này, chúng tôi không biết liệu một trong hai giới hạn có thực sự tồn tại hay không - chúng có thể là cả hai$\text{ERR}$, hoặc cả hai $\text{OK}$, nhưng ở bất kỳ tỷ lệ nào bằng nhau.
Đối với bước tiếp theo, chúng ta cần thực tế rằng giới hạn chỉ coi đối số của nó là một hàm với các số không phải là miền, bởi vì chỉ được coi là một hàm trên miền đó là $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ chức năng tương tự như $h\mapsto 2\cdot x+h$.
Và đó là nó, tại thời điểm này, chúng tôi có thể đọc ra rằng giới hạn thực sự là $\text{OK}(2\cdot x)$ và quay trở lại, chúng tôi thấy rằng các giới hạn khác cũng phải $\text{OK}$ với cùng một giá trị.
Lưu ý rằng $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ không được xác định tại $h=0$ và điều đó, khi $h \ne 0$,
$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$
Tuy nhiên, hàm $:x \mapsto 2x+h$ được xác định, liên tục và có giá trị là $2x$ tại $h=0$.
Chúng tôi cũng cần sử dụng
$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$
Phần còn lại theo sau.
Không có thuộc tính nào của giới hạn được sử dụng trong đối số đầu tiên trước bước cuối cùng vì vậy thực sự những gì chúng tôi đã làm bên trong giới hạn chỉ là viết lại và khi chúng tôi đạt đến bước cuối cùng, chúng tôi có thể hiển thị sự tồn tại bằng cách sử dụng định nghĩa epsilon-delta dường như đề cập đến vấn đề tồn tại, điều tương tự cũng áp dụng cho quy tắc chuỗi vì mọi thứ trong chứng minh trước các bước cuối cùng chỉ là viết lại và các bước cuối cùng sử dụng các thuộc tính của giới hạn được chứng minh vì định nghĩa epsilon delta đề cập đến vấn đề tồn tại, hy vọng điều này giúp đỡ
Nếu chúng ta muốn hoàn toàn rõ ràng, thì đối số cho đạo hàm phải như sau: $\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ và $\lim\limits_{h\to0}2x+h$cả hai đều tồn tại và bằng nhau nếu và chỉ khi có ít nhất một trong số chúng tồn tại. Từ$\lim\limits_{h\to0}2x+h$ trên thực tế có tồn tại và là $2x$, vì vậy cũng phải giới hạn khác (đó là $\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) tồn tại và được $2x$.
Điều này không phù hợp với ví dụ về lôgarit của bạn: Bạn có thể tranh luận rằng $\log0$ và $\log0+\log0$tồn tại và giống nhau nếu ít nhất một trong hai tồn tại. Nhưng cả hai đều không tồn tại, vì vậy vấn đề là tranh luận.