Các biểu diễn tích phân không thể gộp lại của một nhóm bậc 2 "bằng tay"
Câu hỏi này là một bản sao của câu hỏi MO 2010 đó .
Tôi quan tâm đến việc phân loại các lớp đẳng cấu của $n$biểu diễn tích phân theo chiều của nhóm tuần hoàn $C_2$ đặt hàng $2$. Rõ ràng, bất kỳ đại diện tích phân nào của$C_2$là một khoản tiền trực tiếp không thể chia cơ quan đại diện không thể thiếu.
Kết quả sau đây được nhiều người biết đến:
Định lý. Nhóm$C_2$ có đúng 3 lớp đẳng cấu của các biểu diễn tích phân không thể phân hủy:
(1) tầm thường;
(2) biểu diễn dấu hiệu;
(3) biểu diễn 2 chiều với ma trận $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$
Kết quả này đã được nêu trong câu trả lời của Victor Protsak . Xem thêm câu trả lời của Todd Leason .
Trong bình luận của mình, Victor Protsak đưa ra một tài liệu tham khảo. Ông viết: "Curtis và Reiner, Chương 11. Đó là một trường hợp đặc biệt của một định lý trong Phần 74 phân loại các biểu diễn tích phân của các nhóm tuần hoàn có thứ tự nguyên tố. Đương nhiên, trường hợp này dễ hơn nhiều và có thể làm bằng tay."
Câu hỏi. Làm thế nào để chứng minh định lý trên "bằng tay", mà không cần tham khảo sách của Curtis và Reiner?
Động lực: Bây giờ tôi đang làm việc với đại số$\mathbb R$-tori. Chúng được phân loại theo các biểu diễn tích phân của nhóm Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, đó là một nhóm thứ tự $2$. Để hiểu phân loại nổi tiếng của không thể phân hủy$\mathbb R$-tori, tôi cần hiểu sự phân loại nổi tiếng của các biểu diễn tích phân không thể phân hủy của ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.
Tôi đã hỏi câu hỏi có vẻ sơ đẳng này trên Mathematics StackExchange , nhưng không có câu trả lời hoặc nhận xét nào, vì vậy tôi hỏi nó ở đây.
Trả lời
Trong Tính toán với tori thực , Casselman đã viết rất hay về định lý này từ quan điểm không chỉ chứng minh rằng đây là những tori không thể phân hủy duy nhất, mà còn giả sử bạn được cung cấp một biểu diễn tích phân rõ ràng của$\operatorname C_2$, tìm kiếm / tính toán rõ ràng sự phân hủy của nó thành ba biểu diễn này.
Trên thực tế, nếu bạn (bạn là độc giả nói chung, không nhất thiết là @MikhailBorovoi) không quen thuộc với tác phẩm gần đây của Bill Casselman, thì cũng nên xem trang của anh ấy http://www.math.ubc.ca/~cass; Anh ấy đã rất quan tâm đến việc thực hiện các phép tính thực tế, theo nghĩa những thứ có thể được đưa vào máy tính, liên quan đến các nhóm đại số. Trên đây là một ví dụ; những người khác có thể được tìm thấy tạihttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, Bao gồm, ví dụ, Các tính toán của các hằng số cấu trúc theo Jacques Tits -things rằng tất cả chúng ta bí quyết có thể được thực hiện nhưng điều đó hầu hết chúng ta (ít nhất là tôi!) Sẽ co lại từ thực tế làm , ở đây đặt ra một cách thể hiện như thế nào để thực hiện nó trên thực tế.
(Ngoài ra còn có một số thứ hay ho về đồ họa toán học !)