Các ellipsoid John là gì đối với một cặp tập hợp lồi (9 và 15 chiều) của $4 \times 4$ ma trận xác định dương?
Các ellipsoid John ( JohnEllipsoid ) là gì cho các tập lồi 9 và 15 chiều ($A,B$) của $4 \times 4$các ma trận đối xứng xác định dương, vết 1 (Hermitian) (theo cách nói của thông tin lượng tử, các tập hợp của “ma trận mật độ hai ghi nợ” và “hai qubit” [ DensityMatrices ], tương ứng)? (Những vật thể này có "đối xứng trung tâm", theo một khía cạnh của định lý cơ bản JohnTheorem không?)
Hơn nữa, mối quan hệ (giao điểm,…) của các ellipsoids này là gì với các tập hợp con lồi quan trọng của $A$ và $B$ bao gồm các ma trận vẫn xác định dương theo phép toán (không hoàn toàn dương) của phép chuyển vị từng phần — theo đó bốn $2 \times 2$ khối của $4 \times 4$ma trận được chuyển vị trí? ([ MasterLovasAndai ] đã thiết lập rằng các phần nhỏ của thể tích Euclide được chiếm bởi các tập con lồi "PPT" [positive-part-transpose / split / nonentangled] này là$\frac{29}{64}$ cho $A$ và $\frac{8}{33}$ cho $B$.)
Ngoài ra, mối quan hệ xa hơn của những hình elipsoit này với "thanh kiểm tra" (các quả cầu cực đại được ghi trong $A$ và $B$[ SBZ ])? Các thanh tra cũng nằm trong bộ PPT. Có thể các ellipsoids John và các thanh tra chỉ đơn giản là trùng hợp?
Ngoài ra, bản thân các ellipsoids John có thể là gì cho các bộ PPT này?
Có một khái niệm thú vị về "ellipsoid lái", được đề cập trong phần trích dẫn sau p. 28 [Chỉ đạoEllipsoid] :
Đối với các trạng thái hai qubit, các trạng thái có điều kiện chuẩn hóa Alice có thể điều khiển hệ thống của Bob tạo thành một ellipsoid bên trong khối cầu Bloch của Bob, được gọi là ellipsoid lái (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014 ).
Tuy nhiên, "hình cầu Bloch" là 3 chiều, vì vậy ellipsoid lái của trạng thái hai qubit không thể là ellipsoid (15 chiều) John yêu cầu ở trên.
Tất nhiên, câu hỏi John ellipsoids là gì có thể được đặt ra cho các tập lồi của $m \times m$ đối xứng và $n \times n$ Ma trận mật độ Hermitian (xác định dương, dấu vết 1) ($m,n \geq 2$). Đối với$m,n=2$, các câu trả lời có vẻ tầm thường, cụ thể là chính các tập lồi. Đối với$m,n =3$, nó có vẻ không tầm thường. Tuy nhiên, chỉ dành cho các giá trị tổng hợp của$m,n$, chúng tôi có câu hỏi phụ liên quan đến tập con lồi của trạng thái PPT.
Bài viết Wikipedia được cung cấp bởi siêu liên kết đầu tiên ở trên mô tả
"thể tích tối đa ellipsoid nội tiếp là ellipsoid bên trong Löwner – John".
[ DensityMatrices ]: Slater - Công thức ngắn gọn cho xác suất phân tách hai qubit Hilbert – Schmidt tổng quát
[ JohnTheorem ]: Howard - Định lý John ellipsoid
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai và các công thức tương đương xác minh$\frac8{33}$ xác suất phân tách hai qubit Hilbert – Schmidt và các phỏng đoán có giá trị hợp lý đồng hành
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson và Życzkowski - Về cấu trúc của thể trạng thái có chuyển vị một phần dương
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyễn, và Gühne - lái Quantum
Trả lời
Chúng ta hãy bắt đầu với hai công thức rõ ràng có liên quan. Đầu tiên là cho khối lượng của một$k$-dimensional ellipsoid [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {method} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {method} trong đó$a_i$là độ dài của các bán trục.
Cái còn lại dành cho khối lượng của bộ $m \times m$ma trận đối xứng, xác định dương của vết 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {method} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {m! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {phương trình}
Đối với trường hợp (“ghi nợ hai lần”) $m=4$ ($k=9$) quan tâm ngay lập tức, công thức mang lại \ begin {method} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ khoảng 0,0016106. \ end {phương trình}
Vì vậy, câu hỏi đặc biệt quan tâm đối với chúng tôi là tỷ lệ phần nào của thể tích này được chiếm bởi hình elipsoid Lowner-John bên trong đối với tập lồi của tập hợp 9 chiều đã chỉ ra của $4 \times 4$(mật độ) ma trận. Hơn nữa, tầm quan trọng của nó so với$\frac{29}{64}$, phần được thiết lập bởi Lovas và Andai cho khả năng phân tách - tương đương, PPT - xác suất của trạng thái ghi nợ hai lần? Ngoài ra, so với khối lượng của thanh tra (mà chúng tôi không có tính toán hiện tại ngay lập tức).
Vì vậy, để tiếp cận những câu hỏi này, chúng tôi đã tạo ra các cặp "ma trận mật độ hai ghi nợ" được tạo ngẫu nhiên (giây, 4, RandomDensityMatrices ), sử dụng phương pháp Ginibre-gộp. Sau đó, chúng tôi lấy giá trị tuyệt đối của sự khác biệt của chúng và chia cho 2. Chín mục nhập độc lập (ba đường chéo và sáu đường chéo trên) của ma trận kết quả, được lấy làm bán trục.
Tại thời điểm này, chúng tôi đã tạo ra gần 16 triệu cặp như vậy. Các cặp$4 \times 4$ ma trận mật độ mà chúng tôi đã tìm thấy khối lượng ellipsoid tối đa được liên kết, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (chỉ 0,0000432642 trong số $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), cho đến nay là \ begin {method} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0,157489 \\ -0,177458 & 0,0925659 & 0,157489 & 0,11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {method} and \ begin {method} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0,145386 \\ 0,189631 & 0,449171 & -0.180868 & 0,347037 \\ -0,03164 & -0.180868 & 0,126351 & -0.128246 \\ 0,145386 & 0,347037 & -0.128246 & 0,289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {method} Một nửa số chênh lệch tuyệt đối cho hai ma trận này của ba mục nhập đường chéo đứng đầu và sáu mục nhập ngoài đường chéo phía trên được sử dụng như chín bán trục trong công thức đầu tiên đã cho ở trên.
Chúng tôi cũng chỉ ra rằng có một phương pháp thay thế — nhưng tương đương với các yếu tố chuẩn hóa nhất định — để tính toán khối lượng của $m \times m$ma trận mật độ ( AndaiVolume ). Andai, tuy nhiên, hạn chế chú ý đến$2 \times 2$ Trường hợp Hermitian, và không đưa ra một phương án thay thế rõ ràng cho công thức thể tích của Zyczkowski và Sommers được trình bày ở trên - vì vậy, tại thời điểm này, chúng tôi không chắc nó sẽ có dạng gì.