Các hệ thống không nhất quán có thể thú vị / hữu ích về mặt toán học không?
Theo câu trả lời hàng đầu cho câu hỏi này:
Làm toán chúng ta thường có một ý tưởng về một đối tượng mà chúng ta muốn biểu diễn một cách chính thức, đây là một khái niệm . Sau đó chúng tôi viết tiên đề để mô tả khái niệm này và thử xem những tiên đề này có tự mâu thuẫn hay không. Nếu chúng không phải là (hoặc nếu chúng tôi không thể chứng minh rằng chúng có), chúng tôi bắt đầu làm việc với chúng và chúng trở thành một định nghĩa . Các nhà toán học được hướng dẫn bởi khái niệm nhưng họ làm việc với định nghĩa. Hiếm khi khái niệm và định nghĩa trùng khớp, và bạn có một đối tượng toán học chính xác là những gì trực giác [các nhà toán học] của chúng ta cho chúng ta biết nó phải như vậy.
Hình thức hóa trực giác toán học của chúng ta dường như là một công việc khó khăn, đặc biệt là vì trực giác của chúng ta thường mâu thuẫn với nhau, dẫn đến đủ loại nghịch lý khó hiểu. Thêm vào đó, Godel đã chỉ ra rằng nó không thể được thực hiện trong một cách mà là cả phù hợp và đầy đủ, vì vậy khi chúng tôi làm tìm một thức hoá phi mâu thuẫn, chúng ta phải hy sinh đầy đủ.
Nhưng nếu chúng ta từ bỏ tính nhất quán thì sao? Các hệ thống không nhất quán hơn là những hệ thống nhất quán có thể cho phép chúng ta chính thức hóa trực giác (thường không nhất quán) của mình một cách thực tế hơn, nếu cũng ít hữu ích hơn.
Thật không may, nguyên tắc bùng nổ dường như dẫn đến việc một hệ thống như vậy về cơ bản là vô nghĩa vì mọi tuyên bố đều đúng và sai. Tuy nhiên, có thể có một số cách để giải quyết vấn đề này. Ví dụ, chúng ta có thể hạn chế các quy tắc suy luận logic theo cách ngăn chặn nguyên tắc bùng nổ. Hoặc chúng tôi có thể giới hạn tất cả các bằng chứng dưới một độ dài nhất định (tương ứng với số lượng giới hạn các bước trực quan mà một người có thể nắm bắt trong đầu của mình cùng một lúc).
Điều này đã được thử trước đây chưa? Nó có thể khai sáng / hữu ích như một mô hình trực giác toán học của con người không?
LƯU Ý: Từ quan điểm triết học chứ không phải toán học, rất nhiều tôn giáo / hệ thống tư tưởng sẵn lòng hy sinh tính nhất quán để điều chỉnh những mâu thuẫn cố hữu trong trực giác của con người. Thiền Phật giáo có lẽ là ví dụ nổi tiếng nhất, và Đạo giáo cũng làm điều tương tự nếu ít cực đoan hơn. Tôi cũng đang đọc cuốn sách “Orthodoxy” của GK Chesterton, trong đó anh ấy mô tả hệ thống niềm tin của mình (anh ấy là một Cơ đốc nhân), và anh ấy khẳng định rằng việc tuân thủ hoàn toàn logic và lý trí dẫn đến những hậu quả điên rồ và vô lý, và không nắm bắt được sự phong phú của mâu thuẫn trong suy nghĩ và thực tế.
Trả lời
Đúng, các hệ thống như vậy đã thực sự được nghiên cứu - các thuật ngữ chính bao gồm "lôgic không nhất quán" và "lôgic liên quan". Re: nguồn, Chris Mortensen đã viết một bài báo tóm tắt và một cuốn sách về chủ đề này, mặc dù phần sau có một số vấn đề (xem tại đây ).
Một thuật ngữ quan trọng khác ở đây là "phép biện chứng". Rất đại khái, không phù hợp, v.v ... lôgic học là sự dung nạp nghịch lý theo nghĩa là đối với một lý thuyết theo lôgic như vậy, một sự không nhất quán đơn thuần không có nghĩa là tầm thường. Chủ nghĩa biện chứng là lập trường triết học cho rằng có những mâu thuẫn thực sự. Graham Priest đã viết rất nhiều về chủ đề này (xem ví dụ ở đây ).
Điều đó nói rằng, tôi không thực sự biết về bất kỳ nỗ lực hợp lý nào để xoay quanh định lý không hoàn chỉnh đầu tiên theo cách này: Tôi không biết ứng cử viên tự nhiên nào cho một lý thuyết theo logic không phù hợp có thể tính toán được, chứa $\mathsf{Q}$như một thư mục con (giả sử), đã hoàn thành, và rất tầm thường. Tuy nhiên, chúng ta có thể hiểu được định lý không đầy đủ thứ hai theo nghĩa yếu: Cuốn sách của Mortensen thảo luận về một số học liên quan cụ thể có chứa bậc nhất cổ điển$\mathsf{PA}$ nhưng tính phi thường của ai là $\mathsf{PA}$-có thể sản xuất được. (Vì tính bất thường không bao hàm tính nhất quán trong ngữ cảnh này, nên điều này không thực sự vi phạm định lý bất toàn thứ hai.) Một ứng dụng đáng chú ý khác là khả năng của logic không nhất quán để hiểu lý thuyết tập hợp ngây thơ; xem ví dụ ở đây .