Cấu trúc liên kết yếu của không gian định mức
Để cho $X,Y$ là hai không gian quy chuẩn và $T:X\rightarrow Y$ được giới hạn toán tử tuyến tính. $X,Y$với cấu trúc liên kết yếu. Câu hỏi của tôi là$T$ bản đồ tập hợp yếu $X$ thành một tập hợp nhỏ gọn yếu $Y$ và câu hỏi thứ hai là $T$ vẫn là một bản đồ liên tục nếu chúng ta trang bị $X,Y$ với cấu trúc liên kết yếu.
Trả lời
Nếu $V$ là một phần tử con của $\tau_w$ trong $Y$ chứa đựng $0_Y$, sau đó có một chức năng $\phi:Y\to \mathbb F$ và $\epsilon>0$ như vậy mà $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Sau đó,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Hiện nay$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ là một hàm tuyến tính liên tục (chuẩn-) nên $T^{-1}(V)$ mở một cách yếu ớt $X$ và chứa $0_X$. Nó theo sau đó$T$là yếu-yếu liên tục. Điều này đưa ra một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi thứ hai, câu trả lời mà nó đưa ra một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi đầu tiên.
Câu trả lời này không cung cấp bất cứ điều gì mới, nhưng tôi nghĩ rằng một lời giải thích về trình tự có thể rõ ràng hơn. Câu hỏi về tính nhỏ gọn theo sau từ tính liên tục từ yếu đến yếu (hàm ý áp dụng cho các cấu trúc liên kết tùy ý), vì vậy nó đủ để chỉ ra câu sau.
Giả sử $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Sau đó, cho tất cả$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. Đặc biệt, bất kỳ kép nào của hình thức$g\circ T$, Ở đâu $g\in Y^*$, sẽ làm hài lòng $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Nhưng đây chỉ là $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.