Cho thấy $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ có thể được viết như $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
Tôi đã đọc liên kết sau về định nghĩa Cầu Brown và bắt gặp tuyên bố sau (gạch đầu dòng 9 trong liên kết ở trên):
Giả sử $W_t$ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, xác định $X_1=1$, Sau đó $h \in [0,1]$, quá trình $X_t$ là một cây cầu Brown:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
Tôi thực sự có thể hiểu bằng chứng của tuyên bố này được trình bày trong liên kết ở trên và không có vấn đề với tuyên bố rằng $X_t$phía trên là một cây cầu Brown. Tuy nhiên, sau đó tác giả tiếp tục nói rằng:
"Ở dạng vi phân, phần trên có thể được viết là:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
Tôi thực sự không thể kết nối dạng vi phân với phương trình (1) cho $X_t$.
Khi tôi viết lại dạng vi phân trong ký hiệu "long-hand", tôi nhận được ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Ở trên rõ ràng không giống với định nghĩa trước đây của $X_t$cho trong phương trình (1). Tôi đang nghĩ có thể có một số ứng dụng bổ đề của Ito cho một hàm được xác định thông minh$F(X_t,t)$, mà tôi không thể tìm ra (tôi đã thử chơi với các biến thể của $F(X_t,t):=X_te^t$, nhưng không có kết quả).
Có cách nào để "giải" phương trình vi phân (2) thành (1), hay tác giả mắc lỗi chính tả?
Chỉnh sửa : sau khi đọc câu trả lời được liên kết trong nhận xét bên dưới và trên tinh thần câu trả lời của riêng tôi về ký hiệu cho một câu hỏi khác ở đây , tôi đã cố gắng viết lại câu trả lời được liên kết bằng cách sử dụng ký hiệu tay dài (vì tôi gặp khó khăn với việc giải thích một số bước của câu trả lời ký hiệu viết tắt):
Tôi vẫn đang nhận được một câu trả lời sai. Bạn có thể vui lòng giúp tôi xem tôi đang làm sai ở đâu không? .
"Thủ thuật" trong aswer được liên kết dường như đang áp dụng bổ đề Ito cho một hàm $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. Các dẫn xuất là:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
Chúng tôi cũng có điều đó:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ vậy nên:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
Nhân qua $1-t$ sau đó đưa ra:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
Do đó chúng tôi có:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
Tập trung vào thuật ngữ $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$, chúng tôi có thể viết:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
Lưu ý rằng thuật ngữ trong ngoặc ở trên, tức là $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$trên thực tế không bằng$X_h$ (như được định nghĩa trong phương trình (1)), vì vậy trên thực tế chúng ta không có điều đó:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Trả lời
Để cho $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. Tiếp theo hãy xem
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
và phân biệt bằng cách sử dụng bổ đề It ^ o
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
và do đó thực sự có một lỗi đánh máy.
Nếu bạn muốn giải quyết
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
sau đó (như trong ODE) sử dụng hệ số tích hợp
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
để giải quyết SDE
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
cho giải pháp
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
Lưu ý thận trọng: bạn không nên áp dụng bổ đề It ^ o để giải SDE. Điều này chỉ hoạt động trong trường hợp nó thừa nhận một giải pháp mạnh mẽ (xem Oksendal, Chương 5).