Cho thấy $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

Giả sử $(X,\mathcal{A},\mu)$ là một không gian đo lường và $f:X\to\mathbb{R}$có thể đo lường được. Cho thấy

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ xác định một thước đo trên $\sigma$-algebra của các tập con Borel của $\mathbb{R}$
2. Cho thấy $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ cho mọi hàm Borel $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

Ở đây tôi đã có thể chứng minh phần 1.
Nhưng tôi đang gặp khó khăn với phần 2.

Tôi biết rằng tích phân của $g$ được định nghĩa với tổng tích phân của các hàm đơn giản $\phi\leq g$.

Vì vậy, lần đầu tiên tôi cố gắng chứng minh kết quả cho các hàm đơn giản:
Vì vậy, hãy$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ là một chức năng đơn giản.

Vì thế $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
Và sau đó tôi không thể thấy một cách thích hợp để tiếp tục.

Đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn

Answer 1

Sự bình đẳng cho các hàm đơn giản được chứng minh trong các nhận xét. Đối với một hàm không âm tổng quát, chúng ta có thể tiến hành như hình dưới đây.

Bất cứ gì $g \geq 0$ có một trình tự không giảm$(\alpha_n)$của các hàm đơn giản hội tụ theo chiều kim của nó. Sau đó chúng tôi có:

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

Theo định lý hội tụ đơn điệu, chúng ta nhận được:

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$