Cho thấy rằng một nhóm thứ tự $pq$ có nhóm thứ tự $p$ và $q$ mà không sử dụng định lý sylow và cauchy
Nếu $o(G)$ Là $pq$, $p>q$ là số nguyên tố, chứng minh rằng $G$ có một nhóm thứ tự $p$ và một nhóm thứ tự $q$.
[Câu hỏi này là của Herstein và nó có trước định lý của Sylow và Cauchy. Vì vậy, tôi đang mong đợi một câu trả lời mà không cần sử dụng bất kỳ]
Đây là những gì tôi nhận được cho đến nay:
Nếu $G$ là theo chu kỳ thì chúng ta thực hiện ngược lại, chúng ta có thể giả định rằng nó không theo chu kỳ có nghĩa là mọi phần tử không phải danh tính phải có thứ tự $p$ hoặc là $q$.
Trường hợp $(1)$ nếu có $a\in G$ như vậy mà $o(a) = p$ và nếu cũng tồn tại một yếu tố thứ tự $q$sau đó chúng tôi đã hoàn thành. Vì vậy, chúng ta có thể giả định rằng mọi phần tử không phải danh tính đều có thứ tự$p$. Bây giờ chọn$b\in G$ như vậy mà $b\notin \langle a \rangle$ sau đó $o(b) = p$ và $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$
Vì vậy chúng tôi có $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ nhưng $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ nhưng $p^2 > pq$ [từ $p>q$] vì vậy chúng tôi có một mâu thuẫn.
Hãy cho tôi gợi ý cho trường hợp thứ hai và sửa cho tôi nếu lập luận của tôi cho trường hợp đầu tiên là sai
Trả lời
Giả sử rằng mọi phần tử không đồng nhất tạo ra một nhóm thứ tự tuần hoàn $q$, số nguyên tố càng nhỏ.
Liên hợp là một quan hệ tương đương trên một nhóm. Vì vậy, chúng ta có thể phân chia nhóm thành các lớp tương đương của nó. Kích thước của lớp tương đương mà một phần tử thuộc về là chỉ số của phần trung tâm của phần tử. Tại sao? Sửa chữa$x\in G$. Tạo một phép đồng cấu từ$G \rightarrow G$ bằng cách gửi $g \rightarrow xgx^{-1}$. Kích thước của lớp tương đương là thứ tự của hình ảnh. Hạt nhân của bản đồ này là gì?
Nếu bộ trung tâm có trật tự $p$ hoặc là $pq$, chúng ta xong rồi. Giả sử mọi người tập trung đều có trật tự$q$, chỉ số của bộ tập trung là $pq/q=p$. Mọi phần tử sẽ thuộc về một loại kích thước tương đương$p$, ngoại trừ yếu tố nhận dạng.
Một phép tính cardinality đơn giản cho thấy rằng $pq= kp+1$, nơi đại diện cho số lượng các lớp tương đương. Tuy nhiên, điều này là vô lý và do đó, không phải mọi nhóm con của thứ tự$q$.