Chứng minh $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$ [bản sao]

Question

Tôi cần chứng minh $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$nhưng tôi đang ở cuối trí thông minh của tôi. Tôi đã tìm kiếm trên web nhưng tôi chỉ có thể tìm thấy các ví dụ / câu trả lời chứng minh nghịch đảo = 0 và tôi đã tự mình thử một loạt phương pháp nhưng không có kết quả (các thuật ngữ mở rộng, Quy tắc L'Hopitals với vô số dẫn xuất khác nhau đều sai). Có ai có thể chỉ cho tôi hướng đi đúng không, tôi hoàn toàn bế tắc ...

Answer 1

Lưu ý rằng $\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Bằng cách vẽ các biểu đồ có liên quan, bạn có thể thấy:

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

Bây giờ tính tích phân $\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, vì vậy ở trên trở thành

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

Và bây giờ chúng tôi nhận được kết quả của bạn bằng định lý bóp, sau khi chia hết.

Answer 2

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$ và vì thế $\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

Khi bạn đánh giá giới hạn trên của giới hạn trên, bạn sẽ nhận được $2$ từ $\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Tuy nhiên, nếu bạn chọn$\epsilon >1$, bạn thấy đấy

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$ và vì thế $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

và kể từ khi $\epsilon>1$ (tùy ý), bạn có thể kết luận rằng $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(bạn có thể dễ dàng lấy được giới hạn dưới) và vì vậy giới hạn phải là $1$.

Answer 3

Sử dụng $$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$ chúng ta có $$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

Thêm vào.

Đối với bên trái, bước đầu tiên của cảm ứng là rõ ràng. Sau đó$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$ bởi vì $(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ là tương đương $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.

Đối với bên phải $$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 4

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

Áp dụng quy tắc L'Hôpital,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

Áp dụng lại, kết quả

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

Mẫu số tiếp cận 1 là $x\rightarrow \infty$.