Chứng minh một Tập hợp con nhất định là Tập hợp con CW

Aug 16 2020

Tôi đang gặp một số rắc rối với một chi tiết trong một bằng chứng từ Tôpô đại số của Hatcher (Dự luật A.1 trên trang 520 cho những người quan tâm, mặc dù tôi không nghĩ nó có liên quan): Chúng tôi có một tổ hợp CW$X$ và một $n$-cell $e_\alpha^n \subset X$và hình ảnh của bản đồ đính kèm của ô này được chứa trong một khối con hữu hạn $A \subset X$. Hatcher tuyên bố rằng$A \cup e_\alpha^n$là một tổng nhỏ hữu hạn, nhưng tôi gặp khó khăn khi hiểu tại sao. Tôi đang cố gắng chỉ ra rằng ranh giới của$e_\alpha^n$ được chứa trong $A$nhưng tôi không đi đến đâu. Nói chung có đúng là việc đóng cửa một$n$-cell là sự kết hợp của nó với hình ảnh của bản đồ đính kèm của nó?

CHỈNH SỬA: Tôi muốn chứng minh điều này mà không viện dẫn sự thật rằng các phức hợp CW là Hausdorff, vì cuốn sách chưa chứng minh được điều đó.

Trả lời

1 ConnorMalin Aug 16 2020 at 02:26

Việc chỉ ra một tổ hợp CW là Hausdorff là vô cùng, cực kỳ dễ dàng, hãy đưa nó vào bằng chứng của bạn nếu bạn lo lắng về nó.

Với thực tế này, việc đóng một ô mở $e \rightarrow X$ là hình ảnh của $e \cup S^n \rightarrow X$được đưa ra bởi việc bao gồm ô mở và bản đồ đặc trưng trên ranh giới. Đây là bởi vì$e \cup S^n = D^{n+1}$nhỏ gọn, và hình ảnh của một tập hợp nhỏ gọn trong một không gian Hausdorff ngụ ý đóng cửa. Đây là tập đóng nhỏ nhất chứa hình ảnh của$e$ vì bất kỳ điểm nào trong hình ảnh của bản đồ đặc trưng đều nằm trong ranh giới của hình ảnh $e$.