Chứng minh rằng nếu hiệu của các số hạng của hai dãy hội tụ là rỗng thì giới hạn của các dãy bằng nhau
Propositon: Cho rằng các chuỗi thực $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$ là hội tụ, và điều đó $\{a_n - b_n \}$ là một chuỗi rỗng, sau đó $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$
Đây là nỗ lực của tôi:
Chứng tỏ $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ và $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Giả sử$m \neq n$. Giả sử$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Bởi sự hội tụ của$\{a_n\}$ và $\{b_n\}$và sử dụng giá trị được chỉ định của epsilon, cho đủ lớn $n$ chúng tôi có cái đó $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$và $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Từ cái này chúng ta có
$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$
Nhưng mật độ của $\mathbb{R}$, có một số $r \in \mathbb{R}$ như vậy mà $a_n - b_n > r$ đủ lớn $n$. Nhưng điều này mâu thuẫn với thực tế là$\{a_n - b_n\}$ là một chuỗi rỗng, do đó $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$
Tôi quan tâm đến việc xem liệu có bằng chứng nào không (và hy vọng cũng có thể xác minh rằng của tôi là đúng!) Mà không dựa vào việc suy luận mâu thuẫn từ giả định $l \neq m$. Điều khó chịu này có vẻ giống như một trong những câu nói 'hiển nhiên' mà khi tôi viết ra theo logic thứ nhất, tôi phải vật lộn để chứng minh. Đặc biệt là tôi không thể tìm ra cách để làm điều đó trực tiếp.
Trả lời
Bằng chứng bằng mâu thuẫn thực sự là cách tiếp cận tự nhiên nhất ở đây. Trực giác rất đơn giản: nếu các chuỗi có các giới hạn khác nhau, cuối cùng chúng phải gần với các giới hạn đó và do đó không thể gần nhau.
Tuy nhiên, nó có thể được thực hiện dễ dàng hơn một chút. Để cho$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Đây là một$n_0\in\Bbb N$ như vậy mà $|a_n-\ell|<\epsilon$ và $|b_n-m|<\epsilon$ bất cứ khi nào $n\ge n_0$. Nhưng sau đó
$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$
cho tất cả $n\ge n_0$, vì thế
$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$
cho tất cả $n\ge n_0$, mâu thuẫn với giả định rằng $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ là một dãy null.
Lập luận của bạn có một số vấn đề. Đầu tiên, bạn dường như đang giả định rằng$\ell>m$; Không có gì mất đi tính tổng quát thực sự nếu bạn đưa ra giả định này, nhưng ít nhất bạn cần phải nói rằng bạn đang thực hiện nó. Bạn dường như cũng đang giả định rằng ở cuối$a_n-b_n$là tích cực, mà không cần phải như vậy. Cuối cùng, và quan trọng nhất, bạn đã không thực sự đưa ra bất kỳ lời biện minh nào cho việc khẳng định rằng có một$r$ như vậy mà $a_n-b_n>r$ đủ lớn $n$: điều này thực sự đúng với $|a_n-b_n|$ và một số tích cực $r$, nhưng điều này không liên quan gì đến mật độ của $\Bbb R$.