Chuỗi biểu thức của các nhóm hữu hạn thường ổn định
Để cho $G_1 \to G_2 \to \cdots$là một chuỗi các biểu thức của các nhóm hữu hạn được tạo ra một cách cố định. Cuối cùng nó có ổn định không? Đó là, có phải tất cả ngoại trừ rất nhiều epimorphisms thực sự là isomorphisms?
Lưu ý rằng các nhóm hữu hạn tồn tại được tạo sẵn là Hopfian, do đó, điều này loại trừ mẫu đối chiếu đơn giản của mỗi nhóm $G_i$ là một nhóm cố định và mỗi epimorphisms là một tập cố định vào chính nó.
Kết quả tương tự được giữ nguyên khi các nhóm ở trạng thái tự do: đây là Đề xuất 6.8 trong Charpentier Guirardel "Giới hạn các nhóm là giới hạn của các nhóm tự do" . Bằng chứng chỉ sử dụng thực tế rằng các nhóm thường xuyên tự do thường$SL_2(\mathbb{C})$và có vẻ như nó có thể được điều chỉnh cho phù hợp với trường hợp mỗi $G_i$ là cư trú $GL_n(\mathbb{C})$ cho một cố định $n$. Dường như điều này không đúng đối với các nhóm hữu hạn tổng quát: Định lý Jordan-Schur ngụ ý rằng đối với một nhóm hữu hạn tổng quát thì mức độ tối thiểu$n$ sao cho nó nhúng vào $GL_n(\mathbb{C})$ có thể lớn nhỏ tùy ý.
Có cách nào khác để điều chỉnh bằng chứng không? Có một ví dụ ngược lại?
Trả lời
Câu trả lời là không". Nhóm đèn chiếu sáng (được trình bày vô hạn) là một giới hạn của một chuỗi các nhóm hầu như tự do và các từ đồng hình vị giác (xem, ví dụ, câu hỏi này và câu trả lời ở đó ). Tất cả các nhóm hầu như miễn phí thường là hữu hạn.
Tương tự như câu trả lời của dodd, một ví dụ ngược lại cũng có thể được suy ra từ nhóm Houghton thứ hai $H_2$, được định nghĩa là nhóm các tiểu phân $L^{(0)} \to L^{(0)}$ bảo toàn kề và không kề cho tất cả trừ các cặp đỉnh trong đường thẳng vô hạn $L$. Bản trình bày của$H_2$ Là $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ Ở đâu $t$ tương ứng với một bản dịch đơn vị và $\sigma_i$ hoán vị $(i,i+1)$. Bây giờ, hãy cắt ngắn bản trình bày và xác định$G_n$ thông qua $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Bằng cách sử dụng các quan hệ $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ để loại bỏ các máy phát điện $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ và $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, chúng tôi tìm thấy bản trình bày sau đây của $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Quan sát từ bài thuyết trình này rằng $G_n$ phân hủy như một phần mở rộng HNN của $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ hóa ra là đồng phân với nhóm đối xứng $\mathfrak{S}_{n+2}$, nơi liên hợp các chữ cái ổn định $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ đến $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Do đó, là phần mở rộng HNN của một nhóm hữu hạn,$G_n$ phải hầu như miễn phí.
Kết luận là các bản đồ thương số chính tắc $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ xác định một chuỗi biểu thức giữa các nhóm hầu như tự do không ổn định.
Nhận xét: Bằng cách tái tạo lập luận trên gần như từng chữ với nhóm đèn$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ thay vì nhóm Houghton $H_2$cung cấp cùng một kết luận. Lý do là các nhóm này có cấu trúc giống nhau: chúng có dạng$C \rtimes \mathbb{Z}$ cho một số nhóm Coxeter hữu hạn cục bộ $C$ Ở đâu $\mathbb{Z}$ Hành động trên $C$ thông qua một phép đo đẳng của biểu đồ xác định $C$. (Nói một cách dễ hiểu, tất cả các nhóm khác của biểu mẫu này có thể được khôi phục từ$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ và $H_2$, vì vậy không có ví dụ thú vị nào khác theo hướng này.)