Đánh giá giới hạn thương của hai tổng vô hạn

Question

Làm thế nào tôi có thể đánh giá giới hạn này?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

Theo WolframAlpha, giới hạn phải là 2 nhưng làm thế nào tôi có thể hiển thị điều này? Tôi thấy nó đơn điệu ngày càng tăng nên khi tôi có thể hiển thị$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, nó sẽ được thực hiện. Nhưng tôi hơi mắc kẹt ...

Answer 1

lưu ý rằng mẫu số có thể được viết lại thành $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Sau đó, nó trở nên khá dễ dàng: chia tử số và mẫu số cho $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Điều này cung cấp cho bạn giới hạn$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

Quy tắc của L'Hopital có một phiên bản rời rạc, trong những điều kiện nhất định; nó thường được gọi là định lý Stolz-Cesaro . Ở đây, chúng tôi coi tổng kết là tích hợp (và ngược lại, coi sự khác biệt là sự khác biệt). Câu lệnh thường có dạng như sau: nếu chuỗi$\{ b_n \}$ là tích cực và $\sum b_n = \infty$ (tức là phân kỳ), thì đối với bất kỳ chuỗi nào $\{ a_n \}$ thực tế như vậy $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, chúng ta có

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

Một hệ quả khá thú vị của việc này là kiểm tra so sánh giới hạn.

Đối với ví dụ đã cho, hãy $a_n = 1/n$ và $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ để có được $2$ như giới hạn.

Answer 3

Giải thích trực quan:

Tỷ lệ là

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ và để phát triển $k$, thuật ngữ $\frac12$ngày càng trở nên ít hơn đáng kể. Đồng thời cả hai chuỗi phân kỳ, do đó các điều khoản ban đầu không quan trọng.

---

Bằng một lập luận nghiêm túc hơn, bạn có thể đóng ngoặc các tổng bằng cách tích hợp và lấy các giới hạn của biểu mẫu $\log n+c$. Sau đó bằng cách ép

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

So sánh từng thời hạn, chúng ta có $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Tương tự, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Vì vậy, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ và do đó, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Bây giờ hãy áp dụng Định lý Bóp.