Được đặt tên theo nhà toán học người Anh George Green, Định lý Green là một định lý tinh túy trong giải tích, một nhánh của toán học liên quan đến nghiên cứu nghiêm ngặt về các hàm và sự thay đổi liên tục. Bài viết này khám phá phép tính trên không gian Euclide 3 chiều R³, và nhằm mục đích thu hẹp khoảng cách giữa toán học ở trường phổ thông và đại học.

Định lý đầu tiên trong nghiên cứu về Giải tích vectơ rút tích phân diện tích thành tích phân đường. Nó liên hệ tích phân đường xung quanh một đường cong kín đơn giản C với tích phân kép trên miền mặt phẳng D giới hạn bởi C.

trực giác

Để hiểu điều này một cách đơn giản, hãy nghĩ về một dòng chất lỏng trong mặt phẳng hai chiều. Hãy tưởng tượng rằng chất lỏng đang chảy trong một vùng và dòng chảy của nó được mô tả bằng trường vectơ. Đường cong bao quanh khu vực này có thể được coi là một rào cản và chúng tôi quan tâm đến sự lưu thông ròng của chất lỏng xung quanh rào cản này.

Trực giác ở đây là sự lưu thông ròng xung quanh một đường cong kín được xác định bởi “hành vi quay” (độ cong) của trường vectơ trong vùng mà nó bao quanh. Nếu độ cong dương, điều đó có nghĩa là trường đang xoáy cùng hướng với hướng của đường cong (ngược chiều kim đồng hồ), điều này góp phần vào sự lưu thông. Nếu độ cong âm, nó sẽ chống lại hướng của đường cong, làm giảm lưu thông.

Diện tích hình elip

Một ứng dụng của Định lý Green là trong lĩnh vực điện toán. Sau đây là diện tích của khu vực D

Mục tiêu của chúng tôi là chọn các chức năng P và Q tùy ý để chúng tôi nhận được những điều sau đây được thỏa mãn.

Có một số khả năng hữu ích.

Như chúng ta có thể thấy, những biểu thức khác nhau này đều cho cùng một diện tích.

Để tính diện tích theo Định lý Green, chúng ta sẽ chọn khả năng đầu tiên.

C biểu thị đường cong của phương trình elip. Chúng ta sẽ tham số hóa nó như sau.

Đường cong nằm trong khoảng từ 0 đến 2pi, tích phân bây giờ là

Khi đó chúng ta có thể thay thế x = acost(t) cũng như đạo hàm của y theo t.

Như một bài tập, hãy thử tính tích phân và câu trả lời sẽ xuất hiện dưới dạng

Cảm ơn bạn đã đọc. Đừng quên vỗ tay cho bài viết nếu bạn thấy nó sâu sắc.