Độ cong của không gian gần hố đen
(Các nhà lý thuyết khắt khe sẽ phải tha thứ cho cách nói của tôi về câu hỏi này, tôi mới học GR và phần lớn khóa đào tạo vật lý của tôi là về cơ học lượng tử)
Trong hình học phi Euclide, chúng ta có thể nói về một không gian hình cầu như trong một không gian cong nội tại. Trong không gian hình cầu, các đường "song song" hội tụ tại một điểm. Tôi đã đọc trên Wikipedia rằng “Cấu trúc liên kết của chân trời sự kiện của một lỗ đen ở trạng thái cân bằng luôn là hình cầu”.
Có phải là một tuyên bố chính xác khi khẳng định rằng không gian xung quanh một lỗ đen là hình cầu và do đó sự hội tụ của các "đường thẳng song song" gặp nhau tại một điểm nào đó bên trong chân trời sự kiện? Nếu không đúng như vậy, chúng ta thậm chí có thể phân loại không gian xung quanh một điểm kỳ dị là hypebol, hình cầu hay thứ gì khác không?
Đường dẫn phía dưới:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Trả lời
Tôi không nghĩ sẽ đúng nếu mô tả không thời gian gần một lỗ đen là "hình cầu". Thứ nhất, độ cong của không gian thay đổi tùy thuộc vào mức độ bạn ở gần lỗ đen. Đối với một hình cầu, độ cong là một hằng số và không thay đổi theo vị trí. Ngoài ra, bạn cần nhiều hơn một số thực duy nhất để chỉ định độ cong của không-thời gian với kích thước lớn hơn 2. (Điều này là do bạn có thể có một không gian mà các góc của tam giác được định hướng theo một hướng cộng lại nhỏ hơn 180 độ , nhưng các góc của một tam giác được định hướng theo một hướng khác lên tới hơn 180 độ.) Ngoài ra, trường hấp dẫn của lỗ đen phụ thuộc phần lớn vào thực tế là không thời gian bị cong, chứ không chỉ là độ cong không gian.
Bạn vẫn có thể phân loại độ cong của không thời gian dựa trên dấu hiệu của các thành phần khác nhau của tensor độ cong, nhưng việc phân loại sẽ phức tạp hơn hình cầu so với phẳng và hypebol.
Tôi đã đọc trên Wikipedia rằng “Cấu trúc liên kết của chân trời sự kiện của một lỗ đen ở trạng thái cân bằng luôn là hình cầu”.
Câu trả lời này làm rõ ý nghĩa của câu nói đó. Có nghĩa là nếu chúng ta bắt đầu với bất kỳ lỗ đen nào trong không thời gian 4d, thì tự nó coi đường chân trời là một đa tạp 3d, đa tạp này có cấu trúc liên kết$S^2\times \mathbb{R}$, Ở đâu $S^2$ là một hai mặt cầu (bề mặt của một quả bóng) và $\mathbb{R}$là một dòng. Đó là một tuyên bố về cấu trúc liên kết, không phải về hình học. Đặc biệt, tuyên bố nói (hầu như) không có gì về trắc địa (hoặc các đường song song).
Nhân tiện, tuyên bố dành riêng cho các lỗ đen trong không thời gian 4d. Trong không thời gian 5d, một lỗ đen có thể có đường chân trời sự kiện với cấu trúc liên kết không hình cầu.
Thí dụ
Hãy xem xét số liệu Schwarzschild trong không thời gian 4d. Phần tử đường cho đường thế giới giống nhau là$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ Ở đâu $A(r)$đi đến con số không trên đường chân trời. Ký hiệu$d\Omega^2$ là chữ viết tắt của phần tọa độ cầu: không có hệ số $A$, sự kết hợp ${dr^2}+r^2d\Omega^2$sẽ là phần tử đường của không gian euclid 3d phẳng trong hệ tọa độ cầu. Mọi giá trị cố định của$r$xác định một phần phụ 3d của không thời gian 4d. Nếu$A(r)\neq 0$, số liệu cảm ứng trên đa tạp này là $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ bây giờ đang ở đâu $r$ và $A(r)$là các hằng số. Đây là chỉ số tiêu chuẩn về$S^2\times\mathbb{R}$, yếu tố ở đâu $\mathbb{R}$ tính đến tọa độ bổ sung $t$. Trên đường chân trời, chúng tôi có$A(r)=0$, và phương trình (1) không có ý nghĩa ở đó. Các đa dạng mịn vẫn làm cho tinh thần đó, nhưng các thành phần của hệ mét thì không. Chúng ta có thể giải quyết vấn đề này theo một trong hai cách:
Lấy $r$để được tùy ý gần với giá trị này. Điều đó đủ tốt để xem cấu trúc liên kết của$A(r)=0$đa tạp sẽ được. Phương trình (1) nói rằng$dt^2$biến mất trên đường chân trời, tương ứng với thực tế là đường chân trời là siêu bề mặt rỗng : sự dịch chuyển trong$t$-direction là ánh sáng (không có độ dài).
Tốt hơn nữa, chúng ta có thể sử dụng một hệ tọa độ khác để số liệu 4d được xác định rõ ràng trên đường chân trời. Trong tọa độ Kerr-Schild , số liệu Schwarzschild có dạng$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ Ở đâu $V(r)$ được xác định rõ ràng ở mọi nơi ngoại trừ tại $r=0$. Đường chân trời tương ứng với$V(r)=1$, nơi $dt^2$kỳ hạn biến mất. Cài đặt$r$ bằng giá trị đặc biệt này cho số liệu cảm ứng $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Đây là chỉ số tiêu chuẩn về $S^2$, nhưng cấu trúc liên kết thực sự là $S^2\times\mathbb{R}$, nơi $\mathbb{R}$ yếu tố chiếm $t$-danh từ: Tọa độ. Không có$dt^2$ thuật ngữ trong (4) bởi vì đường chân trời là siêu bề mặt rỗng: các chuyển vị trong $t$-direction có độ dài bằng không. Đây là kết luận tương tự mà chúng tôi đã đạt được trước đây, nhưng bây giờ chúng tôi đã đạt được nó trực tiếp hơn vì chỉ số (3) được xác định rõ ràng trên đường chân trời.