Hình tam giác có diện tích tối đa $\frac{7}{12}$.

Question

Giả sử rằng có $75$các điểm bên trong một hình lập phương đơn vị sao cho không có ba điểm nào đồng tuyến tính. Chứng minh rằng có thể chọn ba điểm trong số các điểm đã cho ở trên tạo thành một tam giác có diện tích bằng$\frac{7}{12}$. Làm thế nào có thể có được diện tích của tam giác từ các dữ liệu đã cho này? Hãy giúp tôi. Cảm ơn trước.

Answer 1

Chia khối đơn vị thành 27 khối có kích thước $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Theo nguyên tắc chuồng chim bồ câu, một trong những hình khối này chứa 3 trong số 75 điểm. Từ điều kiện đã cho, các điểm này không thẳng hàng. Vì vậy, chúng tạo thành một tam giác

Trong một khối cạnh $a$, diện tích tối đa của một tam giác có thể nằm trong đó là $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Đối với bên $\frac{1}{3}$, đây là $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Do đó, ba điểm này tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\frac{7}{12}$

Answer 2

Chọn điểm $(0,0,0)$ và $(1,1,z)$ và $(1,1,0)$. Diện tích của tam giác này là$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Bây giờ hãy chọn $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Có vô số cách để đặt 72 điểm còn lại, vì vậy sẽ tồn tại những cách để không có 3 điểm nào là không có cột.

Ví dụ, các điểm còn lại có thể nằm trong mặt phẳng $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ và tạo thành một hình tròn.