Khoảnh khắc của số lượng ước số bị giới hạn khoảng thời gian
Trước đây tôi đã đặt câu hỏi Một hàm số chia cắt ngắn sum trong đó tổng$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ đã được quan tâm, và nó đã được trả lời một cách thỏa đáng.
Ở đây, tôi quan tâm đến việc ước tính số lượng sau $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ vì vậy các ước số bị hạn chế về kích thước hoặc bị hạn chế về khoảng $[1,m]$ không phải trong `` số '' như trong (1).
Khi nào $a=1,$ điều này rất đơn giản (miễn là lấy được số hạng chính), vì tổng có thể được đánh giá theo chiều ngang $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ và thường thì tôi quan tâm đến các giá trị tương đối nhỏ của $m$ về mặt $x$.
Thế còn $a\neq 1$? Đặc biệt,$a=1/2,$ hoặc là $a=2,3,$ vv Làm thế nào người ta có thể ước tính những khoản tiền đó?
Trả lời
Chúng tôi giả định $m\leq x$. Của bạn$S_1(x,m)$ là trong thực tế, $x\log m + O(m)$.
Câu trả lời này ước tính $S_2(x,m)$.
$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ Ở đâu $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.
Để tìm ước tính của tổng đầu tiên, hãy $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ Ở đâu $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, chúng tôi viết $d_1=dk$, $d_2=dl$ với $(k,l)=1$. Thành lập$(k,l)=1$, chúng tôi sử dụng danh tính $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, Ở đâu $\delta_1(n)=1$ khi nào $n=1$, $0$nếu không thì. Sau đó$k=uv$, $l=uw$, vậy nên $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. Sau đó
$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ Vì thế, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$
Chúng tôi có thể có được $S_a(x,m)$bằng cùng một phương pháp. Tuy nhiên, tổng kết quả phức tạp hơn.