Khoảnh khắc của số lượng ước số bị giới hạn khoảng thời gian

Dec 31 2020

Trước đây tôi đã đặt câu hỏi Một hàm số chia cắt ngắn sum trong đó tổng$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ đã được quan tâm, và nó đã được trả lời một cách thỏa đáng.

Ở đây, tôi quan tâm đến việc ước tính số lượng sau $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ vì vậy các ước số bị hạn chế về kích thước hoặc bị hạn chế về khoảng $[1,m]$ không phải trong `` số '' như trong (1).

Khi nào $a=1,$ điều này rất đơn giản (miễn là lấy được số hạng chính), vì tổng có thể được đánh giá theo chiều ngang $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ và thường thì tôi quan tâm đến các giá trị tương đối nhỏ của $m$ về mặt $x$.

Thế còn $a\neq 1$? Đặc biệt,$a=1/2,$ hoặc là $a=2,3,$ vv Làm thế nào người ta có thể ước tính những khoản tiền đó?

Trả lời

1 SungjinKim Jan 01 2021 at 12:19

Chúng tôi giả định $m\leq x$. Của bạn$S_1(x,m)$ là trong thực tế, $x\log m + O(m)$.

Câu trả lời này ước tính $S_2(x,m)$.

$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ Ở đâu $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.

Để tìm ước tính của tổng đầu tiên, hãy $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ Ở đâu $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, chúng tôi viết $d_1=dk$, $d_2=dl$ với $(k,l)=1$. Thành lập$(k,l)=1$, chúng tôi sử dụng danh tính $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, Ở đâu $\delta_1(n)=1$ khi nào $n=1$, $0$nếu không thì. Sau đó$k=uv$, $l=uw$, vậy nên $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. Sau đó

$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ Vì thế, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$

Chúng tôi có thể có được $S_a(x,m)$bằng cùng một phương pháp. Tuy nhiên, tổng kết quả phức tạp hơn.