Kỳ vọng có điều kiện với nhiều điều kiện

Question

Đối với bất kỳ rv nào $X$ và $Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

Nhưng tôi dường như không thể chứng minh điều này. Tôi đã thử sử dụng Luật của Adam với điều kiện bổ sung ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) nhưng tôi dường như không đi đến đâu với nó.

Những gì tôi đã thử là như sau:

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ Kể từ sự kiện $X$ đã xảy ra và $g(X)$ xảy ra là tương đương, điều hòa trên cả hai $X$ và $g(X)$cũng giống như điều hòa chỉ một trong số chúng. Có cách giải thích trực quan nào về điều này không?

Điều này cũng có nghĩa là điều chỉnh trên $X$ hoặc bất kỳ chức năng nào $g$ của $X$ là giống nhau ?

Answer 1

Đây là một trường hợp đặc biệt của Thuộc tính Tháp Kỳ vọng Có Điều kiện, khẳng định rằng nếu $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ sau đó $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ Sử dụng giá trị thứ hai trong số các giá trị bằng nhau này, với $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ và $\mathcal F_2=\sigma(X)$.

Answer 2

Lập luận bạn đã có là một lập luận lý thuyết không đo lường khá tốt. Tôi sẽ chỉ chính thức hóa điều đó dưới đây, nó có thể giúp tạo sự tự tin về một số chi tiết.

Sử dụng cấu trúc đối số của bạn: Hãy $g(X)=E[Y|X]$. Sau đó\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}trong đó (a) sử dụng luật kỳ vọng lặp lại; (xe buýt$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) sử dụng$E[Z|Z]=Z$ cho bất kỳ biến ngẫu nhiên nào $Z$. $\Box$

---

Bước (b) được kiểm tra kỹ hơn là: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ và điều này có nghĩa là nếu chúng ta đã biết $X$, sau đó là thông tin bổ sung $g(X)$ không có gì mới.

---

Ghi chú:

• Điều hòa trên $X$ nói chung không giống như điều hòa trên $g(X)$, nhưng nó hoạt động trong vấn đề cụ thể này.

• Có thể đưa ra kết quả lý thuyết đo lường dọc theo dòng nhận xét đầu tiên của tôi về câu trả lời của bạn. Bạn cũng có thể biện minh$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ chính thức hơn bằng lý thuyết đo lường ("đại số sigma được tạo ra bởi $(g(X),X)$ giống như đại số sigma được tạo bởi $X$").

• Một định nghĩa lý thuyết đo lường chính thức nói về "các phiên bản của" một kỳ vọng có điều kiện và tôi không đi vào chi tiết như vậy trong câu trả lời này (một số người có thể muốn thay thế bằng của tôi bằng các bằng có "với xác suất 1").