Làm thế nào để chúng tôi thể hiện điều đó ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ không hoàn toàn hội tụ?

Question

Đây là từ Phân tích phức tạp của Shakarchi và Stein trong chương các hàm Elliptic.

Làm thế nào để chúng tôi thể hiện điều đó ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ không hoàn toàn hội tụ, ở đâu $\wedge$là một mạng tinh thể kép trong mặt phẳng phức tạp? Đối với tôi, dường như rất khó để chỉ ra sự hội tụ tuyệt đối của các tổng phức vô hạn. Có lẽ tôi có thể cố gắng ràng buộc bộ truyện này và sử dụng dữ kiện từ bộ truyện thật, nhưng tôi không biết làm thế nào.

Answer 1

Bằng một phép quay, chúng ta có thể giả sử mạng tinh thể là $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ và wlog chúng tôi có thể giả định $a \ge 0$ như cách khác, chúng tôi sử dụng $n <0$ trong những gì sau đây.

Sửa chữa $z=x+iy$, vì thế $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

Sau đó nếu $Nb>|y|$, chúng tôi nhận được $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

và tương tự $M>0, M+Na >|x|$ ngụ ý $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

Điều này có nghĩa rằng $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

Nhưng bây giờ chỉ tổng hợp các thuật ngữ đó và gọi tổng đó $S$ chúng tôi hiểu rằng:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

Bằng cách sử dụng một chuỗi kép các số dương có thể được hoán đổi cho nhau theo ý muốn (với cùng một kết quả hoặc hữu hạn hoặc vô hạn), chúng ta ngay lập tức nhận được (vì tổng và đang giảm dần trong $m$) cái đó để cố định $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

Ở đâu $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ như $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ và arctangent đang tăng lên

Nhưng điều này cho thấy rằng $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ vì vậy chuỗi kép các giá trị tuyệt đối trên một tập con mạng đã là vô hạn và chúng ta đã hoàn thành!