Làm thế nào để đánh giá tích phân kép trên một bề mặt không đóng?

Question

Để cho $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ và để $S$ là bề mặt $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Nếu$\hat{n}$ là một đơn vị bình thường để $S$ và $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Sau đó $\alpha=?$

Chúng ta không thể áp dụng định lý phân kỳ Gauss ở đây vì bề mặt S không đóng. Làm thế nào để tiếp tục trong câu hỏi này sau đó? Hãy giúp tôi.

Answer 1

Lưu ý rằng ranh giới của bề mặt là đường cong $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Theo định lý Stokes nếu hai bề mặt có chung đường biên thì tích phân của đường cong trên cả hai bề mặt sẽ giống hệt nhau. I E

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

với cả hai hướng lên hoặc xuống.

Tại sao điều này làm cho cuộc sống dễ dàng hơn? Để bắt đầu, Jacobian giữa$z=0$ máy bay và bình thường $xy$ tọa độ là $1$ (Jacobian của bất cứ thứ gì từ chính nó đến chính nó là $1$) và vectơ pháp tuyến chỉ điểm trong $z$ hướng, có nghĩa là chúng tôi thậm chí không phải tính toán toàn bộ cuộn dây, chỉ $z$ thành phần, đó là

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Điều này cho chúng ta sự bình đẳng sau

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ là một hàm số lẻ, vì vậy tích phân của nó sẽ biến mất trên đĩa bằng $x$đối diện. Tích phân duy nhất còn lại là một hằng số, chỉ cho chúng ta diện tích bề mặt nhân với hằng số đó:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

Như vậy $\alpha =2$