Làm thế nào det (A) = 0 ngụ ý rằng giải pháp không phải là duy nhất? [bản sao]

Question

Nghiệm của phương trình ma trận Ax = b, trong đó $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

không phải là duy nhất, nếu vectơ $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$phụ thuộc tuyến tính. Sau đó, theo các thuộc tính của định thức,$$ \det A=0. $$Tuy nhiên, có phải luôn tuân theo, rằng nếu det A = 0, vectơ cột của A phụ thuộc tuyến tính không? Ai đó có thể trình bày một bằng chứng?

Answer 1

Một bằng chứng khả dĩ:

• Giả sử các cột là độc lập tuyến tính.
• Chuyển đổi ma trận thành dạng phối hợp cột, bắt đầu từ cột cuối cùng và làm việc theo cách của bạn ngược lại.
• Bạn biết số cột độc lập tuyến tính là số cột khác không mà bạn kết thúc. Tuy nhiên, như bạn đã giả định rằng các cột là độc lập, không có cột nào bằng không.
• Nói cách khác, bạn đã kết thúc với một ma trận tam giác với tất cả các phần tử khác không trên đường chéo. Yếu tố quyết định của nó là khác không.
• Tuy nhiên, các phép biến đổi cơ bản mà chúng ta sử dụng khi chuyển đổi ma trận thành dạng phân tử hàng / cột không thay đổi thuộc tính của đường chéo thành không hoặc khác không.
• Do đó, định thức bắt đầu là số khác.

Answer 2

Nếu cột đầu tiên là tất cả $0$rõ ràng. Nếu không, hãy xem xét một hàng có phần tử đầu tiên$\ne 0$. Hoán vị nó để nó trở thành hàng đầu tiên. Yếu tố quyết định vẫn là$0$, hệ thống tương đương với trước đó. Bây giờ hãy giảm tất cả các phần tử trong cột đầu tiên, thấp hơn hàng đầu tiên. Yếu tố quyết định vẫn$0$, hệ thống vẫn tương đương. Bây giờ, hãy nhìn vào ma trận được hình thành bằng cách loại bỏ hàng và cột đầu tiên. Yếu tố quyết định là$0$. Áp dụng quy nạp, tìm lời giải khác không$(x_2, \ldots, x_n)$. Bây giờ sử dụng phương trình đầu tiên ban đầu để nhận được$x_1$. Bây giờ chúng ta có một giải pháp khác không cho toàn bộ hệ thống.