lý tưởng với định mức cố định trong miền Dedekind

Question

Cho một miền Dedekind chung $R$ có đúng là có rất nhiều lý tưởng cơ bản của $R$với cùng một định mức cho trước? Theo "chuẩn mực", ý tôi là chỉ số của lý tưởng trong$R$, giả định là hữu hạn.

Answer 1

Một có kết quả chung sau:

Định lý (Gilmer - Heinzer): Cho$R$là một chiếc nhẫn Noetherian. Sau đó, chỉ tồn tại rất nhiều lý tưởng$I$ của $R$ như vậy mà $|R/I|\leqslant n$ cho bất kỳ số tự nhiên nào $n$.

Để có bằng chứng, người ta có thể xem [1]. Để có một cuộc thảo luận nhàn nhã hơn, hãy xem [2, Tr. 15].

[1] Gilmer, R. và Heinzer, W., 1992. Sản phẩm của vành giao hoán và không chiều . Giao dịch của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, 331 (2), trang.663-680.

[2] Anderson, DF và Dobbs, D. eds., 1995. Các vành giao hoán không chiều (Quyển 171). CRC Nhấn.