$\mathbb R$ với cấu trúc liên kết bên phải được tạo bởi $\tau = \{(a, \infty)\}$ là pseudocompact: bằng chứng mâu thuẫn về mặt * bộ mở *

Question

Tôi đang cố gắng chứng minh rằng không gian tôpô $X$ về cơ bản đó là $\mathbb R$ được trang bị cấu trúc liên kết bên phải được tạo bởi $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ là pseudocompact (bất kỳ hàm liên tục nào $f: X \to \mathbb R$). Câu hỏi này đã được hỏi trước đây và cũng đã được trả lời nhưng ở đây tôi đặc biệt đang tìm kiếm một đánh giá về cách tiếp cận cụ thể của tôi đối với một bằng chứng.

Câu trả lời này của Severin Schraven đã chứng minh bằng sự mâu thuẫn về các tập hợp đóng. Tôi muốn thực hiện cùng một chứng minh về các tập hợp mở, tức là, sử dụng thuộc tính rằng các hình trước của các tập hợp mở trong các hàm liên tục là mở.

Phương pháp tiếp cận của tôi :

Lưu ý rằng một tập hợp mở trong $X$ là các dạng sau:

$$\emptyset, \quad (-\infty, +\infty), \quad (a, \infty).$$

Bây giờ, giả sử chúng ta chọn một số $x \in \mathbb R$ và nhìn vào sự kết hợp của các tập hợp mở rời rạc trong phần bổ sung của nó $\mathbb R \setminus \{x\}$, đó là, $(-\infty, x)\cup (x, \infty)$. Trong cấu trúc liên kết chuẩn trên$\mathbb R$, bộ $(-\infty, x)$ và $(x, \infty)$ chắc chắn là cả hai đều mở và rời rạc.

Chúng tôi cũng biết rằng nó là một thuộc tính thông thường của ánh xạ $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$.

Vì thế $$f^{-1}(-\infty, x) \cap f^{-1}(x, \infty) = f^{-1}((-\infty, x) \cap (x, \infty)) = \emptyset.$$

Điều này có nghĩa là $f^{-1}(x, \infty) = \emptyset$ hoặc là $f^{-1}(-\infty, x) = \emptyset$ hoặc cả hai đều $\emptyset$. Thực tế, để chứng minh rằng$f(X) = x$, đó là $f$ là một bản đồ không đổi, chúng ta cần chứng minh rằng cả hai hình trước đều trống, tức là $f^{-1}(x, \infty) = \emptyset$ cũng như $f^{-1}(-\infty, x) = \emptyset$.

Sau đó, tôi đã nghĩ đến việc chọn một $y \in \mathbb R$ như vậy và nhìn vào $f^{-1}(\mathbb R \setminus \{y\})$ để cho thấy rằng thực tế là không thể $f^{-1}(\mathbb R\setminus \{x\})$không rỗng bằng cách tạo ra một số mâu thuẫn. Đó không phải là$f^{-1}(-\infty, x)$ cũng không $f^{-1}(x, \infty)$được phép để trống do một số mâu thuẫn dẫn đến. Nhưng tôi không chắc làm thế nào để đi về nó. Điều này có thể được thể hiện bằng sự mâu thuẫn, tương tự như cách tiếp cận của Severin?

Chắc chắn, bất kỳ chứng minh nào liên quan đến các hàm liên tục đều có thể được thực hiện theo các tập mở cũng như theo các tập đóng, và các chứng minh như vậy được cho là "kép" theo một nghĩa nào đó. Về cơ bản, tôi đang tìm kiếm một phiên bản chứng minh của Severin về các bộ mở.

Answer 1

Cấu trúc liên kết bên phải có các thuộc tính

1. tất cả các bộ mở không trống sẽ giao nhau (chống Hausdorff, hoặc siêu kết nối .
2. tất cả các tập đóng không trống giao nhau (hoặc ultraconnected ).

Đối với cả hai loại không gian này $X$ chúng tôi có tất cả liên tục $f: X \to \Bbb R$ là không đổi.

Các đối số thông thường được đưa ra trong các câu trả lời được liên kết tập trung vào 1 và lưu ý rằng nếu $f$ không phải là hằng số, có hai giá trị khác biệt, có các vùng lân cận mở riêng biệt $U,V$ trong $\Bbb R$. Sau đó$f^{-1}[U]$ và $f^{-1}[V]$ cũng rời rạc (lý thuyết tập hợp, như $f^{-1}$ giữ nguyên giao lộ, như bạn lưu ý) và không để trống (như $U$ và $V$ chứa các giá trị của $f$).

Vì vậy, những lập luận đó có thể được khái quát thành

Nếu $f: X \to Y$ là một bản đồ liên tục từ một không gian siêu kết nối $X$ đến một không gian Hausdorff $Y$, $f$ là hằng số.

Lập luận của Severin hơi khác: nó sử dụng tất cả $\{x\}$ đã đóng cửa $\Bbb R$thay thế. Tất cả các bộ$f^{-1}[\{x\}]$ cho sự khác biệt $x$ rời rạc và không trống rỗng $x$xảy ra như một giá trị. Vì vậy, lập luận của anh ta có thể được tóm tắt là

Nếu $f:X \to Y$ là một bản đồ liên tục từ một không kết nối $X$ đến một $T_1$ không gian $Y$, $f$ là hằng số.

Tôi không nhất thiết phải gọi những bằng chứng này là kép. Để làm được điều đó, chúng tôi phải sử dụng các bộ$\Bbb R\setminus \{x\}$thay vào đó và sử dụng các liên hiệp hữu hạn thay vì các giao điểm hữu hạn. Từ một cái nhìn chung, chúng cho các kết quả hơi khác, với các bằng chứng tương tự. Các thực tế kép sẽ là một cái gì đó như thế này:

Giả sử $f: X \to \Bbb R$ là liên tục và không cố định và có các giá trị $y_1= f(x_1) \neq f(x_2)= y_2$. Sau đó$f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_1\}]$ là mở (liên tục), không trống (như $x_2$ có trong đó) và không $X$ (như $x_1$ không) và tương tự cho $f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_2\}]$.

Nhưng $$X = f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_1\}] \cup f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_2\}]$$

và vì vậy chúng tôi đã viết $\Bbb R$ trong cấu trúc liên kết trên như một sự kết hợp của hai tập hợp mở, không có tập hợp nào trong số đó $\Bbb R$. Điều này không thể xảy ra như$(a,\infty) \cup (b, \infty) = (\min(a,b), \infty) \neq \Bbb R$ bất cứ gì $a,b$.

Chà, tôi nghĩ con ngựa bây giờ đã khỏe và thực sự đã chết ..