$\mathbb R$ với cấu trúc liên kết được tạo bởi $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ là pseudocompact

Aug 16 2020

Tôi đang cố gắng giải câu hỏi sau từ bộ bài tập chuẩn bị cho UChi Chicago GRE :

Cho $\mathbb R$ với cấu trúc liên kết phù hợp, được tạo bởi $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ và gọi không gian này $X$. Điều nào sau đây là sai?

(...)

(E) $X$ là pseudocompact (mọi hàm liên tục $f: X \to \mathbb R$ bị ràng buộc)

Theo phím câu trả lời (E) không sai. Tôi chưa từng nghe nói về thuật ngữ pseudocompactness trước đây nhưng tôi đang cố gắng tìm ra mọi thứ từ định nghĩa. Nếu tôi hiểu đúng, cấu trúc liên kết$\mathcal O_\tau$ được tạo ra bởi cơ sở $\tau$$\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. Thuộc tính cơ bản của các hàm liên tục là hình ảnh trước của mọi tập mở là mở. Chỉ sử dụng cái này, làm cách nào để chúng tôi hiển thị$f: X \to \mathbb R$ bị ràng buộc?

Trả lời

3 tomasz Aug 16 2020 at 03:55

Gợi ý :$X$có một đặc tính mạnh hơn: mọi hàm có giá trị thực liên tục (trên thực tế, mọi hàm liên tục có giá trị trong không gian Hausdorff) là hằng số. Điều này xuất phát từ thực tế là cứ có hai tập hợp con trống rỗng mở của$X$ giao nhau.

2 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 04:38

Giả sử $f:X \to \Bbb R$ là liên tục, và giả sử $f$không phải là hằng số. Điều này có nghĩa là có$x_1 \neq x_2 \in X$ với $f(x_1) \neq f(x_2)$. Giả sử (WLOG) rằng$f(x_1) < f(x_2)$ sau đó tìm $c\in \Bbb R$ với $f(x_1) < c < f(x_2)$. Sau đó$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ đang mở và $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ cũng đang mở (cả hai đều liên tục $f$) và $O_1$$O_2$ do đó không trống rỗng mở và rời rạc trong $X$. Tuy nhiên, điều này không bao giờ xảy ra vì những bộ như vậy trong$X$ theo định nghĩa luôn có dạng $(a, +\infty)$ và bất kỳ hai trong số này giao nhau (bất kỳ điểm nào lớn hơn điểm lớn nhất của các điểm biên của chúng đều nằm trong giao điểm).

Vì vậy, bất kỳ giá trị thực liên tục nào $f$ trên $X$ là hằng số (nên chắc chắn bị giới hạn), do đó $X$ là pseudocompact.