Nếu $p$ là một số nguyên tố kỳ lạ với $p ≡ 3(\mod 4)$, sau đó $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
Chứng minh nếu đúng. Đưa ra ví dụ đếm nếu sai. Nếu$p$ là một số nguyên tố kỳ lạ với $p ≡ 3(\mod 4)$, sau đó $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
Bằng chứng. $p ≡ 3(\mod 4)$ ngụ ý $4|p-3$. Định lý Wilson nói: Nếu p là số nguyên tố, thì$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ hoặc tương đương $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Điều sau ngụ ý $$p|(p-1)!+1.$$
Tôi không chắc sẽ đi đâu từ đó, hoặc liệu đó có phải là cách tiếp cận chính xác để bắt đầu hay không.
Trả lời
Từ Định lý Wilson, chúng ta biết rằng $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,
Do đó, nó đủ để chứng minh rằng $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
tương đương với việc chứng minh rằng $\frac{p-1}2$ là một số lẻ
Nếu $p = 4k+3$, sau đó $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ là một số lẻ.