Nếu $p$ là một số nguyên tố kỳ lạ với $p ≡ 3(\mod 4)$, sau đó $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Aug 16 2020

Chứng minh nếu đúng. Đưa ra ví dụ đếm nếu sai. Nếu$p$ là một số nguyên tố kỳ lạ với $p ≡ 3(\mod 4)$, sau đó $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Bằng chứng. $p ≡ 3(\mod 4)$ ngụ ý $4|p-3$. Định lý Wilson nói: Nếu p là số nguyên tố, thì$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ hoặc tương đương $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Điều sau ngụ ý $$p|(p-1)!+1.$$

Tôi không chắc sẽ đi đâu từ đó, hoặc liệu đó có phải là cách tiếp cận chính xác để bắt đầu hay không.

Trả lời

1 SiongThyeGoh Aug 16 2020 at 13:03

Từ Định lý Wilson, chúng ta biết rằng $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Do đó, nó đủ để chứng minh rằng $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

tương đương với việc chứng minh rằng $\frac{p-1}2$ là một số lẻ

Nếu $p = 4k+3$, sau đó $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ là một số lẻ.