Phân phối chuẩn có điều kiện [trùng lặp]

Question

Tôi muốn tìm phân phối chuẩn hai biến có điều kiện. Có hai biến bình thường phụ thuộc có cùng phân phối và hệ số tương quan$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. tôi muốn có được$P(X|Y>M)$.

Tôi tìm thấy kỳ vọng có điều kiện là $X$ cho rằng $Y$ nó to hơn $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Nhưng phương sai có điều kiện của $var(X|Y>M)$? Là nó$(1-\rho^2)\sigma^2 $, như nó sẽ xảy ra trong trường hợp của $var(X|Y=M)$, trong đó phương sai không phụ thuộc vào $M$?

Và là phân phối có điều kiện $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

Phương sai có điều kiện phụ thuộc vào $M$.

Tôi không thể tìm thấy dạng đóng cho phương sai có điều kiện, nhưng tôi có thể tìm thấy dạng đóng cho mật độ. Tôi tìm thấy nó bằng cách bắt đầu với hàm phân phối tích lũy có điều kiện sử dụng định nghĩa của xác suất có điều kiện, sau đó phân biệt để tìm mật độ có điều kiện.

Mật độ sử dụng biểu mẫu đầu vào Mathematica là:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Công thức của bạn cho giá trị trung bình có điều kiện là đúng.

Tôi biết phương sai có điều kiện phụ thuộc vào $M$ bởi vì tôi đã tính toán nó bằng tích phân số.