Phép cộng mã hóa của một hành động hoán vị trên $S^3$
Tôi đã thấy một số câu hỏi tương tự yêu cầu xác minh các tính toán của cohomology Bredon ở đây và ở đây , vì vậy tôi sẽ tự hỏi một câu hỏi như vậy.
Để cho $\mathbb{Z}/2$ hành động $S^3\subset \mathbb{C}^2$ bằng cách hạn chế một hành động hoán vị trên $\mathbb{C}^2.$ Tôi muốn tính toán cohomology Bredon $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$
Tôi có sự phân hủy tế bào dựa trên sự phân hủy của phức hợp $1$-đĩa chiều vào $3$ ô: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Đây $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ và $D$ là nội thất của $\mathbb{D}.$ Sau đó, chúng tôi có sự phân hủy của $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ thành các ô tương thích với $\mathbb{Z}/2$ hoạt động.
Tập hợp điểm cố định của một hành động là một đường tròn được cho bởi $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Vì loại quỹ đạo của $\mathbb{Z}/2$ bao gồm $*$ và $\mathbb{Z}/2$ có các chuỗi tương đương sau: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {các ô tương ứng với} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ lần D \\ \ hline \ end {array}
Vì vậy, có vẻ như các cochains có giá trị trong $\underline{\mathbb{Z}}$ Chúng tôi:
\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} Kể từ$(T\times T)^*=0$ trong cochains, chúng tôi có $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Khác biệt $d_1$ là một đẳng cấu kể từ $\partial(D\times *)=T\times *.$ Có vẻ như $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$
Tôi thấy hơi kỳ lạ khi thương số là một hình cầu tương đồng. Chắc chắn rồi, nhóm$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ vì định hướng được giữ nguyên, nhưng có lẽ tôi đã bỏ lỡ một số $2$-torsion ở độ thấp hơn?
Trả lời
Câu trả lời cuối cùng của bạn là đúng, nhưng cấu trúc ô bạn đang sử dụng không phải là $G$-Cấu trúc W: $T\times T$ không thể được sử dụng như một ô theo cách này.
Tôi sẽ tiếp cận nó như thế này: Hành động của $G = {\mathbb Z}/2$ trên $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ có thể được viết dưới dạng đại diện $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, Ở đâu $G$ hành động tầm thường $\mathbb{C}$ và bằng cách phủ định trên $\mathbb{C}^\sigma$. Hình cầu$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ cũng là sự hợp nhất một điểm $S^{1+2\lambda}$, Ở đâu $\lambda$ biểu thị dòng thực với $G$hành động bằng cách phủ định. Điều này có một$G$-CW cấu trúc với
- một $G$-cố 0 ô,
- một $G$-có 1 ô,
- một $G$- miễn phí 2 ô và
- một $G$- miễn phí 3 ô,
để bộ xương là $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$và $S^{1+2\lambda}$. Từ đây, bạn có thể nhận ra rằng$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain là $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$
Một cách để kiểm tra xem câu trả lời có đúng không là viết $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ và sau đó sử dụng phép tính đã biết về $RO(G)$- mã hóa được phân cấp của một điểm (ban đầu do Stong (chưa xuất bản), kể từ khi xuất bản ở nhiều nơi).