Quy định chiều của năng lượng tự điện tử từ cuốn sách của Ryder

Question

Tôi đang nghiên cứu năng lượng tự điện của Electron bằng sách giáo khoa của Ryder, Trong trang 334, chúng ta có thể thấy

Xác định $k'=k-pz$ và tránh thuật ngữ tuyến tính trong $k'$(vì nó tích hợp về 0) cho \ begin {method} \ Sigma (p) = - ie ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p - {\ not} p z + m) \ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1 -z)] ^ 2}. \ label {r2.7} \ end {method} [...] Tích phân này được thực hiện với sự trợ giúp của phương trình (9A.5), tạo ra \ begin { method } \ Sigma (p ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2}. \ end {phương trình}

Phương trình 9A.5 là \ begin { method } \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ alpha}} = (- 1) ^ {d / 2} \ imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {1} {[- q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d / 2}}. \ Tag {9A.5} \ end {method} Tôi không hiểu bằng cách nào anh ấy áp dụng tích phân này (9A.5) để có được kết quả \ begin {method} \ Sigma (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2 }. \ end {method} vui lòng giúp tôi có một ý tưởng.

Answer 1

Vấn đề chỉ là áp dụng kết quả (9A.5) cho tích phân trong $d^d k^\prime$. Thực tế cuộc gọi$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ và đặt $q=0$ trong tích phân (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

nơi chúng tôi vừa thay đổi biến tích hợp từ $k^\prime$ đến $p$để làm rõ hơn từ kết quả 9A.5. Sử dụng thực tế rằng$\Gamma(2) = 1$, sử dụng định nghĩa trên của $M^2$ và đơn giản hóa một chút bạn nhận được $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ nơi chúng tôi sử dụng thực tế rằng $2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

So sánh tích phân thứ hai trong phương trình thứ nhất với tích phân ông lớn ở 9A5. Bạn thấy điều đó$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$sẽ chuyển đổi tích hợp này thành tích hợp kia. Thực hiện các thay thế giống nhau trong rhs của 9A5 sẽ cho bạn kết quả mong muốn.