Sản phẩm buộc của hệ thống đối xứng
Cho một gia đình quan niệm ép buộc $(P_i)_{i\in I}$ chúng ta có thể lấy sản phẩm $P:=\prod_{i\in I}P_i$ như một khái niệm buộc phải tạo một bộ lọc chung của biểu mẫu $G=(G_i)_{i\in I}$ như vậy cho mỗi $i\in I$ hình chiếu $G_i$ tương ứng với bộ lọc chung được tạo khi buộc $P_i$. Đây được gọi là sản phẩm ép buộc và cho phép chúng ta kết nối một số loại đối tượng chung khác nhau cùng một lúc. (Để thảo luận chi tiết hơn về chủ đề này, hãy xem Sản phẩm buộc và các đối tượng chung )
Bây giờ câu hỏi của tôi là nếu và làm thế nào ép sản phẩm có thể được kết hợp với ép đối xứng. Giả sử chúng ta có một nhóm quan niệm ép buộc như trên và một nhóm các nhóm$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ cũng như $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ như vậy mà $\mathcal{G}_i$ là một nhóm con của $Aut(P_i)$ và $\mathcal{F}_i$ là một bộ lọc bình thường trên $\mathcal{G}_i$ cho tất cả $i\in I$. Chúng ta có thể xác định$P$ như trên với $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ hành động $P$ thành phần và $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ như một bộ lọc bình thường trên $\mathcal{G}$ ?
Ví dụ: hãy xem xét mô hình đối xứng ban đầu của Cohen về $ZF+\neg AC$ nơi anh ta kết hợp vô số số thực chung và sau đó tiến hành xây dựng một tập hợp con vô hạn $A\subset \mathbb{R}$không có bất kỳ tập hợp con vô hạn có thể đếm được. Sau đó, cấu trúc được mô tả ở trên sẽ cho phép chúng tôi tiếp cận$I$ nhiều bộ như vậy $(A_i)_{i\in I}$ một lần.
Có bất kỳ biến chứng nào mà người ta có thể gặp phải với cấu trúc kiểu này (tức là sản phẩm đối xứng ép buộc) không? Có tài liệu nào về chủ đề này không?
Trả lời
Vâng, có rất nhiều điều này trong tài liệu. Mặc dù rất ít trong các cách của "khuôn khổ trừu tượng". Đây là điều cơ bản đã được thực hiện ngay từ những ngày đầu bị cưỡng chế, và bạn có thể tìm thấy bằng chứng về điều đó trong các bài báo ban đầu.
Trong tác phẩm của tôi
Karagila, Asaf , Lặp lại phần mở rộng đối xứng , J. Symb. Nhật ký. 84, số 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , Mô hình Morris , Proc. Là. Môn Toán. Soc. 148, số 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Bạn có thể tìm một phương pháp điều trị tổng quát hơn. Sản phẩm là một trường hợp lặp lại cụ thể và bài báo đầu tiên đề cập đến trường hợp hỗ trợ là hữu hạn. Tuy nhiên, trong trường hợp của một sản phẩm, chúng tôi có thể giải quyết một số khó khăn trong việc tổng hợp các bước lặp lại thành các hỗ trợ tùy ý và một số công việc được thực hiện trong bài báo thứ hai.
Ngoài ra, bạn có thể thấy các sản phẩm được định nghĩa "bằng tay" ở nhiều nơi, thật dễ dàng để thấy rằng các định nghĩa phù hợp với bất kỳ loại hệ thống đối xứng nào (nhưng các sản phẩm thường được sử dụng với các chốt kiểu Cohen). Dưới đây là một số ví dụ gần đây, chủ yếu từ công việc của tôi xoay quanh chủ đề này khá thường xuyên và các ví dụ cũ hơn.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Quang phổ của sự đồng nhất. , Bình luận. Môn Toán. Univ. Carol. 60, số 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Nhúng đơn đặt hàng vào các hồng y với (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Môn Toán. 226, số 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , Bổ đề Fodor có thể thất bại ở mọi nơi , Acta Math. Treo. 154, số 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Kết quả độc lập liên quan đến tập hợp hữu hạn Dedekind , J. Aust. Môn Toán. Soc., Ser. A 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Một lớp phù hợp gồm những hồng y có một không hai , Colloq. Môn Toán. 58, số 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Giữa tất cả những thứ này, bạn sẽ thấy hỗ trợ hữu hạn, có thể đếm được (hoặc $\kappa$-) hỗ trợ, Easton hỗ trợ, và bạn sẽ thấy rằng nhảy vọt về phía bất kỳ thứ gì khác (mà bây giờ chỉ là loại hỗ trợ hỗn hợp khác thực sự giống nhau).
Trên thực tế, chúng tôi thậm chí có nhiều quyền lực hơn bây giờ vì chúng tôi có thể nói về việc thay đổi hỗ trợ trong sản phẩm của bộ lọc và các nhóm. Bạn sẽ nghĩ rằng điều này có nghĩa là chúng ta có thể nói nhiều hơn, nhưng trên thực tế, nó thường không liên quan.
Trong bài báo của tôi về sự lặp lại, tôi đã mô tả một khái niệm được gọi là "sự bền bỉ". Cho đến cuối bằng Tiến sĩ của tôi. trong một trong nhiều cuộc thảo luận tôi đã có với Yair Hayut, chúng tôi quyết định thử và tìm ra những gì thực sự nằm bên dưới khái niệm đó. Và hóa ra mọi hệ đối xứng đều tương đương với một hệ đối xứng. Và điều đó có nghĩa là chơi với các hỗ trợ khác nhau (tức là hỗ trợ hữu hạn trên các bộ lọc trong khi sử dụng Easton khi buộc) thường chỉ tương đương với bất kỳ hỗ trợ nhỏ nhất nào bạn đang sử dụng. Không nhất thiết phải luôn luôn, nhưng thường là.
Đối với mô hình Cohen, đó là một chút khó khăn. Mỗi generic là một thực tế, và chúng tôi không chỉ quan tâm đến những thứ đó, chúng tôi còn quan tâm đến tập hợp tất cả các generic. Vì vậy, đây thực sự không phải là một sản phẩm, mà là một sự lặp lại của việc thêm từng lựa chọn thực, vi phạm bằng cách không thêm tập hợp tất cả thực và sau đó buộc thêm tập hợp các generic mà không có thứ tự tốt. Tất cả điều này làm cho cách tiếp cận chỉ nghĩ về nó như một tiện ích mở rộng đơn giản hơn rất nhiều.