Số nguyên tố tương đối với $0$
Câu hỏi này tổng quát hơn, nhưng tôi sẽ sử dụng một định lý để thúc đẩy nó.
Giả sử tôi muốn chứng minh rằng tồn tại một $r$ như vậy mà $r^3 + r + 1 = 0$. Bước đầu tiên là giả định rằng có một$r$, vì thế $r = \frac{p}{q}$ Ở đâu $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ Ở đâu $p,q$ tương đối nguyên tố.
Đây là câu hỏi của tôi. Nếu điều này$r$ là $0$ (nó không phải và tôi có thể loại trừ nó, nhưng tôi quan tâm đến việc liệu tôi có cần thực sự loại trừ nó cho hoàn toàn nghiêm ngặt hay không), $r = \frac{0}{q}$. Nhưng$0 \cdot 0 = 0$ và $0 \cdot q = 0$, Cả hai $p$ và $q$ có một yếu tố chung là $0$.
Nhưng $\gcd(p,q) = 1$, vẫn còn, kể từ $1 > 0$và dường như không quan trọng nếu $q$ là tiêu cực.
Dựa trên điều này, kết luận của tôi là không có vấn đề gì nếu $p = 0$và tôi không cần phải xem xét điều này. Có đúng không? Nếu tôi đã viết "giả sử$p$ và $q$ không có yếu tố chung ", điều đó đã hơi mơ hồ bởi vì chúng chắc chắn có một yếu tố chung là $1$, nhưng giả định "tương đối nguyên tố" chính thức hơn có vẻ ổn.
Trả lời
Nếu chúng ta thay thế "$p,q$ tương đối nguyên tố "với"$\frac pq$ là trong "thuật ngữ thấp nhất" "nó sẽ thay đổi cách bạn nghĩ về nó?
Nếu $q > 1$ sau đó $\frac 0q = \frac 01$ vì thế $\frac 0q$ không phải là điều khoản thấp nhất.
Nếu chúng ta sử dụng ký hiệu $\gcd$ và "số nguyên tố tương đối" mặc dù lập luận giống nhau.
Như $0\cdot q = 0$ chúng ta có $q$ là một ước số của $0$ và vì thế $\gcd(0, q) = q$ và nếu $q > 1$ sau đó $\gcd(0,q) = q$ và do đó
Nếu $q>1$ sau đó $0$ và $q$ không tương đối nguyên tố.
Nhưng $\gcd(0,1) = 1$ vì thế
$0$ và $1$ tương đối nguyên tố.
Và chúng ta có thể tiếp tục.
====
Nhưng trong phân tích của bạn, bạn đã nhầm lẫn và tạo ra một phép chập.
Bạn nói:
Nhưng 0⋅0 = 0 và 0⋅q = 0, nên cả p và q đều có nhân tử chung là 0.
Không hẳn. chúng ta có$0\cdot q =0$. Bạn không có$0\cdot something = q$. Vì thế$0$là KHÔNG một yếu tố của$q$. Vì thế$0$không phải là một yếu tố của bất cứ điều gì ngoại trừ chính nó.
Những gì bạn làm có và nên nói là vì$0\cdot q = 0$ và $1\cdot q = q$ đó là $q$ (và không $0$) đó là yếu tố chung của $0$ và $q$.
Trên thực tế, mọi thứ đều là một yếu tố của$0$ vì thế $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Ghi nhớ$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ bởi vì nếu bất cứ điều gì chia cả hai $a$ và $b$ nó cũng phân chia $-a$ và $-b$.)
Và $0$ và $q$ là phương tiện tương đối chính $\gcd(0, q) = 1$. Nhưng$\gcd(0, q) = |q|$ vì vậy để có $0$ và $q$ tương đối nguyên tố chúng ta phải có $q = \pm 1$.
....
ồ, tôi nên chỉ ra, như Prasun Biswas đã sửa cho tôi, rằng khi chúng tôi xác định $\gcd(a,b)$và ước số chung "lớn nhất", hầu hết các văn bản không nhất thiết có nghĩa là "lớn nhất" về độ lớn, mà là "lớn nhất" về tính chia hết. Chúng tôi xác định$a\preceq b$ có nghĩa là $a$ phân chia $b$và đó là thứ tự từng phần (không phải toàn bộ, không phải so sánh hai phần tử). Sử dụng thứ tự này, ước chung "lớn nhất" là ước chung mà tất cả các ước chung khác đều chia thành.
Đối với hầu hết các phần, định nghĩa giống như nếu $a,b$ cả hai đều tích cực $a\preceq b \implies a \le b$. Và nếu$a,b$ Các số nguyên dương là ước chung lớn nhất về độ lớn và ước chung lớn nhất trong phép chia hết là như nhau.
Nhưng trong trường hợp này khi mọi thứ phân chia $0$, chúng ta luôn luôn có $q\preceq 0$ và $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ và $0$là số chia hết lớn hơn tất cả các số nguyên. Vì vậy, mặc dù tất cả$q$ là ước chung của $0$ và $0$, $\gcd(0,0) = 0$.