Sử dụng quy tắc Leibniz để phân biệt dưới dấu tích phân đối với tích phân dòng

Question

Có tài liệu tham khảo nào chứng minh tính hợp lệ của phân biệt dưới tích phân dòng để chứng minh công thức tích phân Cauchy

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

Bạn có thể sử dụng Định lý 2.27 Từ văn bản Phân tích thực của Folland. Một phiên bản đơn giản của định lý đó cho các số phức sẽ nói rằng nếu$C,D$ nhỏ gọn, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ là phân tích cho tất cả $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ liên tục trong cả hai đối số, sau đó cho tất cả $w\in D$ nó theo sau đó $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

Về cơ bản tại sao điều này hoạt động là vì $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland sử dụng Định lý Hội tụ Chi phối để đảm bảo các công việc trên. Trong trường hợp của chúng tôi như$C\times D$ là nhỏ gọn bởi Định lý Tychonoff, và $\partial h/\partial w (z,w)$ liên tục trên $C\times D$, sau đó $|\partial h/\partial w (z,w)|$ được giới hạn ở trên bởi một hằng số, nói $M$. Từ$C$ có số đo hữu hạn (nhỏ gọn) nó theo sau $M\in L^1(C)$ vì vậy chúng tôi có thể tự do sử dụng các Hội tụ thống trị để biện minh cho việc phân biệt dưới dấu tích phân.

Trong trường hợp của bạn, $C$là một hình tròn, nhỏ gọn. Bây giờ cho$f(u)/(u-w)$, bạn có thể nói rằng điều này không được xác định trên một tập hợp nhỏ gọn, nhưng nếu chúng tôi giới hạn các giá trị của $w$ vào một đĩa nhỏ đã đóng và các giá trị của $u$ vào vòng tròn, khi đó hàm của chúng ta được xác định trên một miền có dạng $C\times D$ Ở đâu $C,D$ nhỏ gọn.

Answer 2

Bạn có thể tìm thấy một bằng chứng cẩn thận ở đây

Đây là một cách khác: sử dụng các dữ kiện đơn giản về chuỗi lũy thừa, chúng ta có, sửa một số nguyên $n,$ và viết $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ phía trong $C,$ chúng ta có

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Nó theo sau đó $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Nhưng $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ Kết quả sau đây.