Sự hội tụ đồng nhất của chuỗi hầu hết các hàm số 0 ở mọi nơi

Question

Để cho $B([a , b])$ là không gian của các hàm bị giới hạn và có thể đo lường từ một khoảng giới hạn đóng $[a , b]$ thành $\mathbb R$được ưu đãi với định mức sup. Tôi biết rằng đây là không gian Banach.

Bây giờ hãy xem xét không gian con vectơ sau của $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

Làm thế nào để hiển thị điều đó $L_{0}$ là một không gian con đóng của $B([a , b])$.

Nỗ lực của tôi như sau:

Để cho $f \in B([a , b])$ là một điểm giới hạn của $L_{0}$. Sau đó, có một chuỗi$( f_{n} )$ trong $L_{0}$ như vậy mà $f_{n} → f$ đồng nhất và do đó $f_{n} (x) = f (x)$ cho tất cả $x \in [a , b]$. Bây giờ kể từ$f_{n} = 0$ ae cho tất cả $n\in\mathbb N$ và vì giao điểm có thể đếm được của các tập con số đo đầy đủ là tập hợp con số đo đầy đủ, do đó $f = 0$ae bất kỳ sửa chữa nếu sai được đánh giá rất cao. Cảm ơn vì bất kì sự giúp đỡ.

Answer 1

Để cho $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ một chuỗi $L_0$ hội tụ thành một chức năng $f$. Đặc biệt,$f_n(x)\to f(x)$ ae và do đó $f=0$ ae Do đó, $L_0$ được đóng tuần tự và do đó đóng.