$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
Từ Lý thuyết về Hàm Zeta Riemann của Titchmarsh , trang 13:
Để cho $\phi (x)$ là bất kỳ hàm nào có đạo hàm liên tục trong khoảng $[a,b]$. Sau đó nếu$[x]$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
Không có bằng chứng nào về điều này trong cuốn sách và tôi không biết 'tên' của định lý này là gì. Tôi muốn hiểu định lý này nhưng không biết bắt đầu từ đâu.
Trả lời
Để cho $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, Ở đâu $\{t\}$ là phần nhỏ của $t$.
Phác thảo bằng chứng:
Tôi để lại các chi tiết cho bạn. Đây là một cách để tiếp cận danh tính này.
- Đầu tiên, hãy chú ý rằng $\rho$ là một $1$- chức năng theo chu kỳ và điều đó $\rho'(t)=-1$ cho $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. Đối với$k\leq \alpha<b\leq k+1$, sử dụng tích hợp theo từng phần hai lần (một lần với $u=f(t)$ và $dv=\rho'(t)\,dt$; và khác với$u=f'(t)$ và $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) để có được
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
Bây giờ bạn có thể thêm các khoảng số nguyên $[k,k+1]\subset(a,b]$ và sau đó qua các khoảng phân số tiềm năng $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ để có được kết quả mong muốn.
Chỉnh sửa: Có thể thu được bằng chứng tổng quát và trang nhã hơn bằng cách tích hợp các phần:
Bổ đề: Cho$F$ và $G$ là các hàm liên tục bên phải của biến thiên hữu hạn cục bộ trên $I$, và để $\mu_G$, $\mu_F$ là các biện pháp đã ký kết do $G$ và $F$tương ứng. Sau đó, cho bất kỳ khoảng thời gian nhỏ gọn nào$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ Ở đâu $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
Đối với OP,
Cân nhắc biện pháp đếm $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ và thước đo Lebesgue $\lambda$, cả hai đều được xác định trên $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. Để cho$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Thông báo rằng$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
Áp dụng bổ đề trên với $f$ thay cho $F$ và $\Phi$ thay cho $G$, chúng tôi có cái đó $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ và $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ và vì thế,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
thay đổi từ đâu $\Phi(t-)$ đến $\Phi(t)$ sau thực tế rằng $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-như
Kết luận theo sau bằng cách cộng và trừ $\frac12$ trong tích phân cuối cùng.
Đây là của Abel-Summation: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ Ở đâu $B_1(x)$là đa thức Bernoulli đầu tiên. Như đã đề cập trước đây,$1/2$-điều khoản là thừa.
Bằng cách tích hợp liên tiếp các bộ phận bằng cách sử dụng $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, bạn sẽ nhận được công thức Euler-Maclaurin nếu $a,b$ là các số nguyên.