Tạo trực giác chức năng

Aug 16 2020

Tôi đang cố gắng hiểu việc sử dụng các hàm tạo. Tôi hiểu rằng chúng ta có thể nén một chuỗi thành một hàm sinh, để mỗi hệ số của đa thức mà nó tạo ra là các phần tử của chuỗi. Nhưng tôi không hiểu các yếu tố đầu vào có gì thay đổi?

Giả sử chúng ta có chức năng tạo: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

Điều gì xảy ra khi chúng tôi cung cấp các giá trị khác nhau cho $x$, điều gì đang thay đổi trực quan? Tôi nghĩ$x^k$ thuật ngữ ở đó để mã hóa vị trí của hệ số trong chuỗi, vì chúng tôi không thể thêm $p_ax^a$$p_bx^b$ nếu $ a \neq b$, để các điều khoản không đồng nhất. Nhưng tôi thấy rằng đối với phân phối xác suất, thuộc tính$G(1)=1$phải giữ. Đây có phải là trường hợp duy nhất mà việc đưa ra giá trị cho x là hữu ích?

Cảm ơn rất nhiều trước cho những lời giải thích.

Trả lời

2 AntoniParellada Aug 16 2020 at 21:14

Nếu $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị trong các số nguyên không âm $\{0,1, \dots\}$, thì hàm tạo xác suất của $X$ được định nghĩa là:

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

Ở đâu $p$ là hàm khối lượng xác suất của $X$. Sự lựa chọn của$z$ thay vì $x$chỉ đơn giản là liên quan đến ý tưởng rằng những gì chúng ta đang làm là một phép biến đổi z .

Chú ý những gì sau đó $z$ đang hoạt động giống như một sợi dây phơi quần áo để treo các giá trị quan tâm, những giá trị này được phục hồi sau khi phân biệt và đánh giá tại $0$ để khôi phục PMF hoặc tại $1$cho các khoảnh khắc, tương ứng. Điều kỳ diệu này xảy ra nhờ vào thực tế là$z$ hoặc trở thành $0$ trong toàn bộ phần đuôi của điều khoản (PMF), hoặc $1.$ Nhưng trong cả hai trường hợp, nó không liên quan đến biến ngẫu nhiên và không đóng góp bất kỳ thông tin nào - nó tương đương với một biến giả.

NÉT ĐẶC TRƯNG:

  1. NÓ mang lại cho bạn KHẢ NĂNG HẤP DẪN bằng cách phân biệt:

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

  1. $G\,(1)=1$ bởi vì $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$

  2. Vi sai đầu tiên

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

  1. Sự khác biệt đầu tiên được đánh giá tại $1$ cung cấp cho bạn ý nghĩa: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$

  2. Đạo hàm thứ hai được đánh giá tại $1$ là mẹ của giai thừa, và KHÔNG phải là phương sai, bởi vì số hạng thứ hai không bình phương.

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

  1. Tổng quát hóa, sau đó, $i$đạo hàm -th được đánh giá tại $1$$i$-thời điểm giai thừa thứ:

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

  1. Để có được phương sai,

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$

  1. Chúng ta có thể có được những khoảnh khắc thô bằng cách phân biệt pgf và nhân nó với $z$:

$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$